<單選>設\(a\),\(b\),\(c\)為實數,且多項式\(f(x) = a(x – 1)(x – 3) + b(x – 1)(x – 4) + c(x – 3)(x – 4)\)經化簡後,得\(f(x) = x^2\)。有關\(a\),\(b\),\(c\)的大小關係,試選出正確的選項。(1) \(a > b > c\)；(2) \(a > c > b\)；(3) \(b > c > a\)；(4) \(c > a > b\)；(5) \(c > b > a\)
要解決這個問題，我們可以通過**代入特殊值法**或**比較系數法**來求解 \(a, b, c\) 的值，再比較它們的大小。
### 步驟1：代入特殊值求 \(a, b, c\)
已知 \(f(x) = a(x-1)(x-3) + b(x-1)(x-4) + c(x-3)(x-4) = x^2\)，我們可以選擇使某些項為0的 \(x\) 值，簡化計算：
- **求 \(a\)**：令 \(x = 4\)，則 \(b\) 和 \(c\) 的項均為0：
\[
f(4) = a(4-1)(4-3) + 0 + 0 = 3a = 4^2 = 16 \implies a = \frac{16}{3}
\]
- **求 \(b\)**：令 \(x = 3\)，則 \(a\) 和 \(c\) 的項均為0：
\[
f(3) = 0 + b(3-1)(3-4) + 0 = -2b = 3^2 = 9 \implies b = -\frac{9}{2}
\]
- **求 \(c\)**：令 \(x = 1\)，則 \(a\) 和 \(b\) 的項均為0：
\[
f(1) = 0 + 0 + c(1-3)(1-4) = 6c = 1^2 = 1 \implies c = \frac{1}{6}
\]
### 步驟2：比較 \(a, b, c\) 的大小
- \(a = \frac{16}{3} \approx 5.33\)
- \(c = \frac{1}{6} \approx 0.17\)
- \(b = -\frac{9}{2} = -4.5\)
因此，大小關系為 \(a > c > b\)。
### 最終答案
選項 \(\boxed{(2)}\) 報錯
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