<多選>已知多項式\(f(x)\)除以\(x^{2}+5x + 1\)後,所得出的商式為\(x^{3}+7x^{2}+x + 3\),試選出下列可能為\(f(x)\)的選項。
(1) \(2(x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)\)；
(2) \((x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)-x\)；
(3) \((x^{3}+7x^{2}+x + 3)(x^{2}+5x + 1)+x^{2}\)；
(4) \((x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x\)；
(5) \((x^{3}+7x^{2}+x + 4)(x^{2}+5x + 1)-x^{2}\)
答案
$\begin{align*}
&已知f(x)=(x^2+5x+1)(x^3+7x^2+x+3)+r(x)，其中\deg r(x)\leq1或r(x)=0。\\
\\
&逐一判斷：\\
&(1) ×：商式並非2(x^3+7x^2+x+3)；\\
&(2) ○：r(x)=-x滿足\deg r(x)\leq1；\\
&(3) ×：r(x)=x^2不滿足\deg r(x)\leq1；\\
&(4) ×：展開得r(x)=x^2+4x+1，不滿足\deg r(x)\leq1；\\
&(5) ○：展開得r(x)=5x+1，滿足\deg r(x)\leq1；\\
\\
&故選(2)(5)。
\end{align*}$
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