<多選>某機構在 \(12\) 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中,此時甲、乙的細菌數量分別為 \(X\)、\(Y\)。已知甲的數量每 \(3\) 小時成長為原來的 \(2\) 倍,例如 \(15\) 點時甲的數量為 \(2X\)。乙的數量每 \(2\) 小時成長為原來的 \(2\) 倍,例如 \(14\) 點時乙的數量為 \(2Y\)、\(16\) 點時乙的數量為 \(4Y\),測量所得結果部分記錄於下表。該機構在 \(18\) 點時測量發現甲、乙的數量相同,欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型來預估甲、乙 \(12\) 點至 \(24\) 點的細菌數量。根據上述,試選出正確的選項。
| 時刻（點） | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| 甲數量 | X | 2X | |||||||||||
| 乙數量 | Y | 2Y | 4Y |
(1) \(X\gt Y\)(2) 在 \(13\) 點時,甲的數量為 \(\frac{4}{3}X\)(3) 在 \(15\) 點時,乙的數量為 \(3Y\)(4) 在 \(19\) 點時,乙的數量為甲的 \(1.5\) 倍(5) 在 \(24\) 點時,乙的數量為甲的 \(2\) 倍
甲的數量變化公式為 \(N_{甲}=X\cdot2^{\frac{t - 12}{3}}\),乙的數量變化公式為 \(N_{乙}=Y\cdot2^{\frac{t - 12}{2}}\)。18 點時兩者數量相同,則 \(X\cdot2^{\frac{18 - 12}{3}}=Y\cdot2^{\frac{18 - 12}{2}}\),即 \(4X = 8Y\),\(X = 2Y\),所以 \(X\gt Y\),(1) 正確；13 點時,甲的數量為 \(X\cdot2^{\frac{13 - 12}{3}}=2^{\frac{1}{3}}X\neq\frac{4}{3}X\),(2) 錯誤；15 點時,乙的數量為 \(Y\cdot2^{\frac{15 - 12}{2}}=2\sqrt{2}Y\neq3Y\),(3) 錯誤；19 點時,甲數量為 \(X\cdot2^{\frac{19 - 12}{3}}=2^{\frac{7}{3}}X\),乙數量為 \(Y\cdot2^{\frac{19 - 12}{2}}=2^{\frac{7}{2}}Y\),因為 \(X = 2Y\),則乙數量為甲的 \(\frac{2^{\frac{7}{2}}Y}{2^{\frac{7}{3}}X}=\frac{2^{\frac{7}{2}}Y}{2^{\frac{7}{3}}\cdot2Y}=2^{\frac{7}{2}-\frac{7}{3}-1}=2^{\frac{1}{6}}\neq1.5\) 倍,(4) 錯誤；24 點時,甲數量為 \(X\cdot2^{\frac{24 - 12}{3}} = 16X\),乙數量為 \(Y\cdot2^{\frac{24 - 12}{2}} = 64Y\),因為 \(X = 2Y\),乙數量為甲的 \(\frac{64Y}{16X}=\frac{64Y}{16\cdot2Y}=2\) 倍,(5) 正確。答案：(1)(5) 報錯
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