<選填>考慮所有只用\(0\),\(1\),\(2\)三種數字組成的序列,序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成（可重複出現）。令\(a(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零（即\(00\)）出現的次數總和。例如長度\(3\)的序列中含有連續兩個零的有\(000\),\(001\),\(002\),\(100\),\(200\) ,其中\(000\)貢獻\(2\)次\(00\),其餘各貢獻\(1\)次\(00\),故\(a(3)=6\)。則\(a(5)\)的值為\(\underline{○17 – 1}\ \underline{○17 – 2}\ \underline{○17 – 3}\)。
答案
$\begin{align*}
&分類計算含0的5位數（數字為0、1、2）：\\
&- 5個0：\underline{00000}，共4次；\\
&- 4個0：\\
&\quad ① x\underline{0000}（或\underline{0000}x）：x取1/2，共3×2×2=12次；\\
&\quad ② 0x\underline{000}（或\underline{000}x0）：x取1/2，共2×2×2=8次；\\
&\quad ③ 00x00：x取1/2，共2×2×1=4次；\\
&- 3個0：\\
&\quad ① \underline{000}xx（或xx\underline{000}、x\underline{000}x）：x取1/2，共2×2^2×3=24次；\\
&\quad ② 00x0x（及對稱形式）：x取1/2，共1×2^2×6=24次；\\
&- 2個0：\\
&\quad 00xxx（及對稱形式）：x取1/2，共1×2^3×4=32次；\\
\\
&總數：4+12+8+4+24+24+32=108，即a(5)=108。
\end{align*}$
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
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