<單選>在坐標平面上，已知向量 \(\overrightarrow{PQ} = \left( \log \frac{1}{5} – 10^{-5} \right)\)，其中點 \(P\) 的坐標為 \(\left( \log \frac{1}{2}, 2^{-5} \right)\)。試選出正確的選項。
(1) 點 \(Q\) 在第一象限
(2) 點 \(Q\) 在第二象限
(3) 點 \(Q\) 在第三象限
(4) 點 \(Q\) 在第四象限
(5) 點 \(Q\) 位於坐標軸上
---
**略解：**
1. 先判斷 \(\overrightarrow{PQ}\) 的形式：題目只給一個數，合理推測是 \(\overrightarrow{PQ} = (k, k)\)，其中
\[
k = \log\frac{1}{5} - 10^{-5}
\]
因為 \(10^{-5}\) 很小，不影響符號。
2. 計算 \(k\) 的近似值：
\[
\log\frac{1}{5} = -\log 5 \approx -0.69897
\]
減去 \(10^{-5} = 0.00001\) 得
\[
k \approx -0.69898
\]
所以 \(k < 0\)。
3. 設 \(Q = (x_Q, y_Q)\)，則
\[
x_Q = x_P + k = \log\frac{1}{2} + k
\]
\[
y_Q = y_P + k = 2^{-5} + k
\]
其中
\[
\log\frac{1}{2} = -\log 2 \approx -0.30103
\]
\[
2^{-5} = \frac{1}{32} = 0.03125
\]
4. 計算：
\[
x_Q \approx -0.30103 - 0.69898 = -1.00001 < 0
\]
\[
y_Q \approx 0.03125 - 0.69898 = -0.66773 < 0
\]
所以 \(Q\) 在第三象限。
**答案：** (3) 報錯
ChatGPT DeepSeek
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