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107學測數學

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107學測數學考科-11

坐標空間中，設直線 \( L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z}{-1} \)，平面 \( E_1: 2x-3y-z=0 \)，平面 \( E_2: x+y-z=0 \)。試選出正確的選項：
(1)點 (3,0,-1) 在直線 \( L \) 上
(2)點 (1,2,3) 在平面 \( E_1 \) 上
(3)直線 \( L \) 與平面 \( E_2 \) 垂直
(4)直線 \( L \) 在平面 \( E_2 \) 上
(5)平面 \( E_1 \) 與 \( E_2 \) 交於一直線。

答案

(1) 代入 L：\( \frac{3-1}{2}=1 \)，\( \frac{0-2}{-3}=\frac{2}{3} \)，不等 ✗。
(2) 代入 E1：\( 2-6-3=-7 \neq 0 \) ✗。
(3) L 方向向量 \( \vec{v}=(2,3,-1) \)，E2 法向量 \( \vec{n}_2=(1,1,-1) \)，\( \vec{v} \cdot \vec{n}_2 = 2+3+1=6 \neq 0 \) ✗。
(4) 參數式 \( (1+2t, 2+3t, -t) \) 代入 E2：\( (1+2t)+(2+3t)-(-t)=3+6t=0 \) 無解，故 L 與 E2 平行 ✗。
(5) E1 與 E2 法向量不平行，故交於一直線 ✓。
故選(5)。答案：(5) 報錯
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107學測數學考科-12

試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線 \( y^2 = 2x \) 的焦點？
(1) \( y = \left( x – \frac{1}{2} \right)^2 – \frac{1}{4} \)
(2) \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \)
(3) \( x^2 + \frac{4y^2}{3} = 1 \)
(4) \( 8x^2 – 8y^2 = 1 \)
(5) \( 4x^2 – 4y^2 = 1 \)。

答案

拋物線 \( y^2=2x \) 標準式 \( y^2=4\cdot\frac{1}{2}x \)，焦點 \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \)。
(1) 頂點 \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right) \)，開口向上，焦距 \( \frac{1}{4} \)，焦點 \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \) ✓。
(2) 橢圓 \( \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \)，\( c=1 \)，焦點 \( (\pm1,0) \) ✗。
(3) 橢圓 \( \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3/4}=1 \)，\( c=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2} \)，焦點 \( \left( \pm\frac{1}{2},0 \right) \) ✓。
(4) 雙曲線 \( \frac{x^2}{1/8}-\frac{y^2}{1/8}=1 \)，\( c=\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=\frac{1}{2} \)，焦點 \( \left( \pm\frac{1}{2},0 \right) \) ✓。
(5) 雙曲線 \( \frac{x^2}{1/4}-\frac{y^2}{1/4}=1 \)，\( c=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \)，焦點 \( \left( \pm\frac{1}{\sqrt{2}},0 \right) \) ✗。
故選(1)(3)(4)。答案：(1)(3)(4) 報錯
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107學測數學考科-B

如右圖所示（只是示意圖），將梯子AB靠在與地面垂直的牆AC上，測得與水平地面的夾角∠ABC為60°。將在地面上的底B沿著地面向外拉51公分到點F（即FB=51公分），此時梯子EF與地面的夾角∠EFC之正弦值為\(\sin ∠EFC = 0.6\)，則梯子長 \( AB = \) __________ 公分。

答案

設梯長 \( x \)，原 \( BC = \frac{x}{2} \)。拉後 \( \sin \angle EFC = 0.6 \)，則 \( \cos \angle EFC = 0.8 \)。由 \( \cos \angle EFC = \frac{BF+BC}{EF} = \frac{51 + x/2}{x} = 0.8 \)，解得 \( x = 170 \)。答案：170 報錯
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107學測數學考科-C

平面上兩點 \( A \)、\( B \) 之距離為5，以 \( A \) 為圓心作一半徑為 \( r \)（0 < \( r < 5 \)）的圓 \(\Gamma\)，過 \( B \) 作圓 \(\Gamma\) 的切線，切點（之一）為 \( P \)。當 \( r \) 變動時，\(\triangle PAB\) 的面積最大可能值為 __________。（化成最簡分數）

答案

\( \triangle PAB \) 面積 \( = \frac{1}{2} r \cdot BP \)，且 \( r^2 + BP^2 = 25 \)。由算幾不等式 \( \frac{r^2+BP^2}{2} \geq r\cdot BP \Rightarrow \frac{25}{2} \geq r\cdot BP \)，面積最大 \( \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} = \frac{25}{4} \)。答案：\( \frac{25}{4} \) 報錯
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107學測數學考科-D

坐標平面上，圓T完全落在四個不等式：\( x-y \leq 4 \)，\( x+y \leq 18 \)，\( x-y \geq -2 \)，\( x+y \geq -24 \)所圍成的區域內，則T最大可能面積為 __________ \(\pi\)（化成最簡分數）

答案

區域為平行四邊形，兩組平行線距離：\( x-y \) 組：\( \frac{|4-(-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \)；\( x+y \) 組：\( \frac{|18-(-24)|}{\sqrt{2}} = \frac{42}{\sqrt{2}} = 21\sqrt{2} \)。取短邊 \( 3\sqrt{2} \) 為直徑，半徑 \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)，面積 \( \pi \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{9}{2}\pi \)。答案：\( \frac{9}{2} \) 報錯
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107學測數學考科-E

坐標平面上，若拋物線 \(y=x^2+2x-3\) 的頂點為C，與x軸的交點為A、B，則 \(\cos \angle ACB = \) __________。（化成最簡分數）

答案

頂點 \( C(-1,-4) \)，與 x 軸交點 \( A(-3,0) \)、\( B(1,0) \)。向量 \( \overset{\rightharpoonup}{CA}=(-2,4) \)，\( \overset{\rightharpoonup}{CB}=(2,4) \)。內積 \( (-2)(2)+4\cdot4=12 \)，長度均 \( \sqrt{20} \)，故 \( \cos \angle ACB = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)。答案：\( \frac{3}{5} \) 報錯
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107學測數學考科-F

設 \( a, b, c, d, e, x, y, z \) 皆為實數，考慮矩陣相乘：\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 5 & 7 \\ -4 & 6 & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & x & 7 \\ 0 & y & 7 \\ -11 & z & 23 \end{bmatrix}\)，則 \( y = \) __________。（化成最簡分數）

答案

由第三列：\( 1\cdot(-3)+2\cdot(-4)=-11 \) ✓；\( 1\cdot5+2\cdot6=17=z \)；\( 1\cdot7+2\cdot e=23 \Rightarrow e=8 \)。由第二列：\( -3c-4d=0 \)，\( 5c+6d=y \)，\( 7c+8d=7 \)。解聯立得 \( c=7 \)，\( d=-\frac{21}{4} \)，代入得 \( y=5\cdot7+6\cdot\left(-\frac{21}{4}\right)=35-\frac{126}{4}=\frac{140-126}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} \)。答案：\( \frac{7}{2} \) 報錯
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107學測數學考科-G

設 \( D \) 為 \(\triangle ABC\) 中 \( BC \) 邊上的一點，已知 \(\angle ABC = 75^\circ\)、\(\angle ACB = 45^\circ\)、\(\angle ADB = 60^\circ\)。若 \(\overset{\rightharpoonup}{AD} = s \overset{\rightharpoonup}{AB} + t \overset{\rightharpoonup}{AC}\)，則 \(s = \) __________，\(t = \) __________。（化成最簡分數）

答案

在 \(\triangle ABD\) 與 \(\triangle ADC\) 中用正弦定理求 \( BD:DC \)。得 \( BD:DC=2:1 \)。由分點公式 \( \overset{\rightharpoonup}{AD} = \frac{1}{3} \overset{\rightharpoonup}{AB} + \frac{2}{3} \overset{\rightharpoonup}{AC} \)，故 \( s=\frac{1}{3} \)，\( t=\frac{2}{3} \)。答案：\( s=\frac{1}{3}, t=\frac{2}{3} \) 報錯
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107學測數學考科-H

將一塊邊長 \( AB = 15 \) 公分，\( BC = 20 \) 公分的長方形鐵片 \( ABCD \) 沿對角線 \( BD \) 對摺後豎立，使得平面 \( ABD \) 與平面 \( CBD \) 垂直，則 \( A \)、\( C \) 兩點（在空間）的距離 \( AC = \) __________ 公分。（化成最簡根式）

答案

對角線 \( BD=25 \)。作 \( AH \perp BD \) 於 H，則 \( AH=12 \)，\( BH=9 \)，\( CH=\sqrt{20^2+9^2-2\cdot20\cdot9\cdot\frac{4}{5}}=\sqrt{400+81-288}=\sqrt{193} \)。在直角 \(\triangle AHC\) 中，\( AC=\sqrt{12^2+193}=\sqrt{337} \)。答案：\( \sqrt{337} \) 報錯
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