某國家過去五年的碳排放總量,由第1年的\(X\)億公噸二氧化碳當量（\(CO_2e\)）下降至第5年的\(Y\)億公噸二氧化碳當量（\(CO_2e\)）,達到每年平均減碳\(5\%\)的效益,亦即\(Y=(1 – 0.05)^4X\)。將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表,其中（第\(n\)年碳排放總量）−（第\(n – 1\)年碳排放總量）第\(n\)年碳排放成長率\(=\frac{（第n年碳排放總量）−（第n – 1年碳排放總量）}{第n – 1年碳排放總量}\),\(n = 2,3,4,5\)。
| 第1年 | 第2年 | 第3年 | 第4年 | 第5年 | |
| 碳排放總量（億公噸\(CO_2e\)） | \(X\) | \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(Y\) |
| 碳排放年成長率 | \(-0.07\) | \(p\) | \(q\) | \(r\) |
試選出正確的選項。
(1) \(A = 0.93X\)；
(2) \(Y\leq0.8X\)；
(3) \(p\gt – 0.05\)；
(4) \(r\gt – 0.05\)；
(5) \(0.93(1 + p)(1 + q)(1 + r)=(0.95)^4\)
我們先整理已知條件：
- 第 1 年：\( X \)
- 第 5 年：\( Y \)
- 年均減碳 5%：\( Y = (1 - 0.05)^4 X = (0.95)^4 X \)
- 成長率定義：
\[
\text{第 } n \text{ 年成長率} = \frac{\text{第 } n \text{ 年碳排放總量} - \text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量}}{\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量}}
\]
（題目公式分母寫 \( n \) 應為筆誤，應是前一年的量，否則單位不對。一般成長率 = (今年−去年)/去年。）
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### (1) \( A = 0.93X \)
第 2 年成長率 = \( -0.07 \)
\[
\frac{A - X}{X} = -0.07 \implies A - X = -0.07X \implies A = 0.93X
\]
✅
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### (2) \( Y \leq 0.8X \)
\( Y = (0.95)^4 X \)
\( 0.95^2 = 0.9025 \)
\( 0.95^4 = 0.9025^2 = 0.81450625 \)
所以 \( Y \approx 0.8145 X \)，大於 \( 0.8X \)
因此 \( Y \leq 0.8X \) ❌
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### (3) \[ \frac{-0.07 + p + q + r}{4} = -0.05 \]
這裡的「年均減碳 5%」是**複利年均成長率 (CAGR)**，不是算術平均年成長率。
CAGR = \( (Y/X)^{1/4} - 1 = -0.05 \)
算術平均年成長率 ≠ CAGR，除非每年成長率一樣。
所以此式不成立 ❌
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### (4) \[ \sqrt[4]{\frac{Y}{X}} - 1 = -0.05 \]
這就是 CAGR 的定義，題目說 \( Y = (0.95)^4 X \)，所以
\[
\sqrt[4]{\frac{Y}{X}} = 0.95 \implies \sqrt[4]{\frac{Y}{X}} - 1 = -0.05
\]
✅
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### (5) \[ 0.93(1 + p)(1 + q)(1 + r) = (0.95)^4 \]
由成長率定義：
\( A = X(1 - 0.07) = 0.93X \)
\( B = A(1 + p) = 0.93X(1 + p) \)
\( C = B(1 + q) = 0.93X(1 + p)(1 + q) \)
\( Y = C(1 + r) = 0.93X(1 + p)(1 + q)(1 + r) \)
又 \( Y = (0.95)^4 X \)
所以
\[
0.93X(1 + p)(1 + q)(1 + r) = (0.95)^4 X
\]
\[
0.93(1 + p)(1 + q)(1 + r) = (0.95)^4
\]
✅
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**正確選項：** (1), (4), (5)
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