數學學測

$\left(5\log 2^{(3^5)}\right) = \left(3^5 \log 2\right)$

令 \(A(5,0,12)\)、\(B(-5,0,12)\) 為坐標空間中之兩點,且令 \(P\) 為 \(xy\) 平面上滿足 \(PA = PB = 13\) 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 \(P\)？
(1) \((5,0,0)\)
(2) \((5,5,0)\)
(3) \((0,12,0)\)
(4) \((0,0,0)\)
(5) \((0,0,24)\)

在坐標平面上,以 \((1,1)\)、\((-1,1)\)、\((-1,-1)\) 及 \((1,-1)\) 等四個點為頂點的正方形,與圓 \(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0\) 有幾個交點？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 0 個

請問滿足絕對值不等式 \(|4x – 12| \leq 2x\) 的實數 \(x\) 所形成的區間,其長度為下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6

設 \((1 + \sqrt{2})^6 = a + b\sqrt{2}\),其中 \(a, b\) 為整數。請問 \(b\) 等於下列哪一個選項？
(1) \(C_6^0 + 2C_6^2 + 2^2C_6^4 + 2^3C_6^6\)
(2) \(C_6^1 + 2C_6^3 + 2^2C_6^5\)
(3) \(C_6^0 + 2C_6^1 + 2^2C_6^2 + 2^3C_6^3 + 2^4C_6^4 + 2^5C_6^5 + 2^6C_6^6\)
(4) \(2C_6^1 + 2^2C_6^3 + 2^3C_6^5\)
(5) \(C_6^0 + 2^2C_6^2 + 2^4C_6^4 + 2^6C_6^6\)

某疾病可分為兩種類型：第一類占 70%,可藉由藥物 A 治療,其每一次療程的成功率為 70%,且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類,藥物 A 治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型,且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下,進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) 0.25
(2) 0.3
(3) 0.35
(4) 0.4
(5) 0.45

設坐標平面上,\(x\) 坐標與 \(y\) 坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。
(1) \(y = x^2\)
(2) \(3y = 9x + 1\)
(3) \(y^2 = -x – 2\)
(4) \(x^2 + y^2 = 3\)
(5) \(y = \log_9 x + \frac{1}{2}\)

關於下列不等式,請選出正確的選項。
(1) \(\sqrt{13} > 3.5\)
(2) \(\sqrt{13} < 3.6\)
(3) \(\sqrt{13} – 3 > \frac{1}{0}\)
(4) \(\sqrt{13} + 3 > 16\)
(5) \(\frac{1}{\sqrt{13} – 3} > 0.6\)

一物體由坐標平面中的點 \((-3,6)\) 出發,沿著向量 \(\overrightarrow{v}\) 所指的方向持續前進,可以進入第一象限。請選出正確的選項。
(1) \(\overrightarrow{v} = (1,-2)\)
(2) \(\overrightarrow{v} = (1,-1)\)
(3) \(\overrightarrow{v} = (0.001,0)\)
(4) \(\overrightarrow{v} = (0.001,1)\)
(5) \(\overrightarrow{v} = (-0.001,1)\)

設 \(f(x)\) 為實係數二次多項式,且已知 \(f(1) > 0\)、\(f(2) < 0\)、\(f(3) > 0\)。令 \(g(x) = f(x) + (x – 2)(x – 3)\),請選出正確的選項。
(1) \(y = f(x)\) 的圖形是開口向下的拋物線
(2) \(y = g(x)\) 的圖形是開口向下的拋物線
(3) \(g(1) > f(1)\)
(4) \(g(x) = 0\) 在 1 與 2 之間恰有一個實根
(5) 若 \(\alpha\) 為 \(f(x) = 0\) 的最大實根,則 \(g(\alpha) > 0\)