數學指考分科-甲

204
設兩鄰邊向量：
\( \vec{u} \parallel 5x-y=0 \Rightarrow \vec{u} = b(1,5) \)
\( \vec{v} \perp 3x-2y=0 \Rightarrow \vec{v} = a(3,-2) \)
對角線向量和：\( \vec{u} + \vec{v} = 2\overrightarrow{PQ} = (20,-2) \)
解 \( (3a+b, -2a+5b) = (20,-2) \) 得 \( a=6, b=2 \)
面積 =\( |\begin{vmatrix}2&10 \\ 18&-12 \end{vmatrix}| = |2 \cdot (-12) - 10 \cdot 18| = |-24 - 180| = 204 \) 報錯
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1. 付300元即先付225元兩次未抽中，再付75元，故機率為兩次未抽中的機率；
2. 每次未抽中機率 \(\frac{3}{5}\)，兩次獨立，機率 \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)。答案：(3) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\) 報錯
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1. 設抽獎次數 \(X\)，\(P(X=k)=\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)（\(k=1,2,\dots\)）；
2. 期望值 \(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)；
3. 由幾何分布期望值公式 \(E(X)=\frac{1}{p}=\frac{5}{2}\)。答案：\(\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)，值為 \(\frac{5}{2}\) 報錯
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1. 方式一：設金額 \(Y_1\)，\(Y_1=225\)（至少一次抽中）機率 \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)，\(Y_1=300\) 機率 \(\frac{9}{25}\)，\(E(Y_1)=225\times\frac{16}{25}+300\times\frac{9}{25}=252\)；
2. 方式二：金額 \(Y_2=100X\)，\(E(Y_2)=100\times\frac{5}{2}=250\)；
3. 故 \(E(Y_1)>E(Y_2)\)。答案：方式一期望252元，方式二期望250元，方式一期望大於方式二 報錯
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1. 當 \(a=0\) 時，\(f(x)=1\geq0\)；
2. 當 \(a>0\) 時，\(f(x)\) 開口向上，最小值在 \(x=0\)，\(f(0)=1-a\)，由 \(a\leq1\) 得 \(1-a\geq0\)；
3. 當 \(a<0\) 時，\(f(x)\) 開口向下，最大值在端點，\(f(\pm1)=3a+1-a=2a+1\)，由 \(a\geq-\frac{1}{2}\) 得 \(2a+1\geq0\)，故 \(f(x)\geq0\)。答案：證明如上，\(f(x)\geq0\) 在 \(-1\leq x\leq1\) 成立 報錯
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1. 面積 \(S=\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}[3ax^2+(1-a)]dx\)；
2. 計算積分：\(\int_{-1}^{1}3ax^2dx=3a\cdot\frac{2}{3}=2a\)，\(\int_{-1}^{1}(1-a)dx=2(1-a)\)；
3. 故 \(S=2a+2(1-a)=2\)，與 \(a\) 無關。答案：積分計算得面積為2，與 \(a\) 無關，故所有 \(a\) 對應面積皆為2 報錯
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1. 體積 \(V=\pi\int_{-1}^{1}[f(x)]^2dx=\pi\int_{-1}^{1}[9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2]dx\)；
2. 計算得 \(V=\pi\left(\frac{18}{5}a^2+\frac{4}{3}a(1-a)+2(1-a)^2\right)\)，與 \(a\) 有關；
3. 化簡為二次函數，求 \(a\in[-\frac{1}{2},1]\) 最值，得 \(a=-\frac{1}{2}\) 時 \(V\) 最大，值為 \(\frac{49\pi}{15}\)。答案：不相等，\(a=-\frac{1}{2}\) 時最大值 \(\frac{49\pi}{15}\)","否 報錯
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由\(\log a-\log x=\log (a - x)\)，根據對數運算法則可得\(\log\frac{a}{x}=\log (a - x)\)，則\(\frac{a}{x}=a - x\)（\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)），整理得\(x^{2}-ax + a = 0\)。
此方程有兩相異實數解，則判別式\(\Delta = a^{2}-4a\gt0\)，解得\(a\lt0\)或\(a\gt4\)。
又因為\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)，即\(x\lt a\)，且\(x\)是\(x^{2}-ax + a = 0\)的根，由韋達定理\(x_1 + x_2 = a\)，\(x_1x_2 = a\)，所以\(a\gt0\)。
綜上，\(a\gt4\)，只有\(a = 5\)滿足條件。
答案為(5)。 報錯
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根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
由餘弦定理\(\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{25 + 36 - 64}{2\times5\times6}=-\frac{1}{20}\)；
\(\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{25 + 64 - 36}{2\times5\times8}=\frac{53}{80}\)；
\(\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{36 + 64 - 25}{2\times6\times8}=\frac{75}{96}=\frac{25}{32}\)。
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos A=5\times6\times(-\frac{1}{20})=-\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)=-5\times8\times\frac{53}{80}=-\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}=25\)。
比較可得\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}\)最大。
答案為(4)。 報錯
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