數學指考分科-甲

因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

由(2)可知\(f(x)=-12x^{2}(x - 2)^{2}=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}\)。
因為\(G(x)=\int f(x)dx\)，所以\(G(x)=\int(-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2})dx=- \frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}+C\)。
又\(G(0)=0\)，代入可得\(C = 0\)，即\(G(x)=-\frac{12}{5}x^{5}+12x^{4}-16x^{3}\) 。
對\(G(x)\)求導得\(G^\prime(x)=-12x^{4}+48x^{3}-48x^{2}=-12x^{2}(x^{2}-4x + 4)=-12x^{2}(x - 2)^{2}\)。
在區間\([0,2]\)上分析\(G^\prime(x)\)的符號：
令\(G^\prime(x)=0\)，可得\(x = 0\)或\(x = 2\)。
當\(0\lt x\lt2\)時，\(G^\prime(x)\leq0\)，這表明\(G(x)\)在\((0,2)\)上單調遞減。
所以在\(0\leq x\leq2\)的範圍內，\(G(x)\)在\(x = 2\)處取得最小值。
將\(x = 2\)代入\(G(x)\)得：
\(G(2)=-\frac{12}{5}\times2^{5}+12\times2^{4}-16\times2^{3}\)
\(=-\frac{384}{5}+192 - 128\)
\(=-\frac{384}{5}+64\)
\(=-\frac{384}{5}+\frac{320}{5}\)
\(=-\frac{64}{5}\)。
故\(G(x)\)在\(0\leq x\leq2\)的範圍內的最小值為\(-\frac{64}{5}\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

二位正整數從\(10\)到\(99\)，共有\(90\)個。
十位數字小於個位數字的二位正整數有：
當十位是\(1\)時，個位可以是\(2\)到\(9\)，共\(8\)個；
當十位是\(2\)時，個位可以是\(3\)到\(9\)，共\(7\)個；
\(\cdots\)
當十位是\(8\)時，個位是\(9\)，共\(1\)個。
所以十位數字小於個位數字的二位正整數共有\(1 + 2 + 3 + \cdots + 8=\frac{8\times(8 + 1)}{2}=36\)個。
則其概率\(p=\frac{36}{90}=0.4\)，\(0.33\lt0.4\lt0.44\) 。
答案為(2)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

已知\(a = \sqrt[3]{10}\)，則\(a^{5}=10\sqrt[3]{100}\)。
因為$(4.5)^3=(\frac{9}{2})^3=\frac{729}{8}\lt100\therefore 4.5\lt\sqrt[3]{100}$ 。
\(a^{5}=10\sqrt[3]{100}\gt10\times4.5=45\)
答案為(5)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

由\(3\sin x = 2\sin2x\)，根據二倍角公式\(\sin2x = 2\sin x\cos x\)，可得\(3\sin x = 2\times2\sin x\cos x\)。
移項得\(3\sin x - 4\sin x\cos x = 0\)，提取公因式\(\sin x\)得\(\sin x(3 - 4\cos x)=0\) 。
則\(\sin x = 0\)或\(3 - 4\cos x = 0\)。
當\(\sin x = 0\)時，\(x = 0,\pi,2\pi\)；
當\(3 - 4\cos x = 0\)時，\(\cos x=\frac{3}{4}\)，在\(0\leq x\leq2\pi\)範圍內，\(x = 2k\pi\pm\arccos\frac{3}{4}\)，\(k\in Z\)，此時有兩個解（\(k = 0\)時的兩個值）。
所以共有\(5\)個交點。
答案為(4)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

根據定積分基本定理\(\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\)。
已知\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值，則\(f^{\prime}(1)=0\)。
又因為圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y - f(4)+5(x - 4)=0\)，其斜率為\(-5\)，所以\(f^{\prime}(4)= - 5\)。
則\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(4)-f^{\prime}(1)= - 5 - 0=-5\)。
答案為(1)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

已知\(\vec{u}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)垂直，則\(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = 0\)，即\(\vec{u}^{2}+\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)。
設\(\vert\vec{u}\vert = m\)，\(\vert\vec{v}\vert = n\)，由向量數量積公式\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}mn\)，\(\vec{u}^{2}=m^{2}\)，可得\(m^{2}-\frac{1}{2}mn = 0\)，因為\(m\neq0\)（\(\vec{u}\)是非零向量），所以\(m-\frac{1}{2}n = 0\)，即\(n = 2m\)，\(\vec{v}\)的長度是\(\vec{u}\)的長度的\(2\)倍，(1)錯誤。
\(\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}=-\frac{1}{2}mn + n^{2}\)，把\(n = 2m\)代入得\(-\frac{1}{2}m\times2m+(2m)^{2}=-m^{2}+4m^{2}=3m^{2}\)。
\(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert=\sqrt{\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\sqrt{m^{2}+2\times(-\frac{1}{2}mn)+n^{2}}=\sqrt{m^{2}-mn + n^{2}}\)，把\(n = 2m\)代入得\(\sqrt{m^{2}-m\times2m+(2m)^{2}}=\sqrt{3}m\)。
\(\cos\langle\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\rangle=\frac{\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})}{\vert\vec{v}\vert\vert\vec{u}+\vec{v}\vert}=\frac{3m^{2}}{2m\times\sqrt{3}m}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\vec{v}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)的夾角為\(30^{\circ}\)，(2)正確。
\(\vec{u}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{2}-\vec{u}\cdot\vec{v}=m^{2}-(-\frac{1}{2}mn)=m^{2}+\frac{1}{2}mn\)，把\(n = 2m\)代入得\(m^{2}+\frac{1}{2}m\times2m = 2m^{2}\gt0\)，所以\(\vec{u}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為銳角，(3)正確。
\(\vec{v}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}^{2}=-\frac{1}{2}mn - n^{2}\)，把\(n = 2m\)代入得\(-\frac{1}{2}m\times2m-(2m)^{2}=-m^{2}-4m^{2}=-5m^{2}\lt0\)，所以\(\vec{v}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為鈍角，(4)錯誤。
\(\vert\vec{u}-\vec{v}\vert=\sqrt{\vec{u}^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\sqrt{m^{2}-2\times(-\frac{1}{2}mn)+n^{2}}=\sqrt{m^{2}+mn + n^{2}}\)，把\(n = 2m\)代入得\(\sqrt{m^{2}+m\times2m+(2m)^{2}}=\sqrt{7}m\)。
因為\(\sqrt{3}m\lt\sqrt{7}m\)，即\(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert\lt\vert\vec{u}-\vec{v}\vert\)，(5)錯誤。
答案為(2)(3)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

由\(z = r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，則\(z^{-n}=\frac{1}{z^{n}}=\frac{1}{r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)}=\frac{1}{r^{n}}[\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)]\)。
已知\(z^{n}+z^{-n}+2 = 0\)，即\(r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)+\frac{1}{r^{n}}(\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta))+2 = 0\)。
整理得\((r^{n}+\frac{1}{r^{n}})\cos n\theta+2 + i[(r^{n}-\frac{1}{r^{n}})\sin n\theta]=0\)，所以\(\begin{cases}(r^{n}+\frac{1}{r^{n}})\cos n\theta+2 = 0\\(r^{n}-\frac{1}{r^{n}})\sin n\theta = 0\end{cases}\)。
由\((r^{n}-\frac{1}{r^{n}})\sin n\theta = 0\)，若\(\sin n\theta\neq0\)，則\(r^{n}-\frac{1}{r^{n}} = 0\)，即\(r^{2n}=1\)，又\(r\gt0\)，所以\(r = 1\)；若\(\sin n\theta = 0\)，代入\((r^{n}+\frac{1}{r^{n}})\cos n\theta+2 = 0\)，\(r^{n}+\frac{1}{r^{n}}\gt0\)，\(\cos n\theta\in[-1,1]\)，方程不成立，所以\(r = 1\)，(1)正確。
由\(z^{n}=-1\)（\(r = 1\)時），\(z = \cos\frac{(2k + 1)\pi}{n}+i\sin\frac{(2k + 1)\pi}{n}\)，\(k = 0,1,\cdots,n - 1\)，恰有\(n\)個不同的複數\(z\)滿足題設，(3)錯誤。
由\(z^{n}=-1=\cos\pi+i\sin\pi\)，\(z=\cos\frac{(2k + 1)\pi}{n}+i\sin\frac{(2k + 1)\pi}{n}\)，若\(\theta=\frac{3\pi}{7}\)，則\(\frac{(2k + 1)\pi}{n}=\frac{3\pi}{7}\)，\(14k + 7 = 3n\)，\(n=\frac{14k + 7}{3}\)，當\(k = 1\)時，\(n = 7\)，成立；若\(\theta=\frac{4\pi}{7}\)，則\(\frac{(2k + 1)\pi}{n}=\frac{4\pi}{7}\)，\(14k + 7 = 4n\)，\(n=\frac{14k + 74}{4}\)，\(k\)取整數時\(n\)不是整數，不成立，(4)正確，(5)錯誤。
由(4)可推出(2)(3)選項
答案為(1)(4)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

若兩函數\(y = f(x)\)與\(y = g(x)\)在\(x = 1\)相切，根據切線的性質，則\(f(1)=g(1)\)且\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)\)，(1)(2)正確。
由(1)(2)$先令p(x)=f(x)-g(x)~~(\mathrm{deg}p(x)=3且領導係數\gt0\\
\because p(1)=0=p'(1)\Rightarrow 圖形單調遞增\therefore (1,p(1))為y=p(x)圖形反曲點\\
p''(1)=0,\therefore f''(1)=0)$，(3)正確。
假設\(f(x)=x^{3}\)，\(g(x)=3x - 2\)，\(f^{\prime}(x)=3x^{2}\)，\(g^{\prime}(x)=3\)，\(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)=3\)，且\(f(x)\)與\(g(x)\)只有一個交點\(x = 1\)，但不存在\(a\neq1\)使得\(f^{\prime}(a)=g^{\prime}(a)\)，(4)錯誤。
同理，不能得出存在實數\(a\neq1\)使得\(f^{\prime\prime}(a)=g^{\prime\prime}(a)\)，(5)錯誤。
答案為(1)(2)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案