〈數學〉彙整頁面 - 第 63 頁，總計 70 頁

04 – 114學測數學b試題06

設$a$,$b$,$c$為實數,且多項式$f(x) = a(x – 1)(x – 3) + b(x – 1)(x – 4) + c(x – 3)(x – 4)$經化簡後,得$f(x) = x^2$。有關$a$,$b$,$c$的大小關係,試選出正確的選項。(1) $a > b > c$；(2) $a > c > b$；(3) $b > c > a$；(4) $c > a > b$；(5) $c > b > a$

[單選]

答案

要解決這個問題，我們可以通過**代入特殊值法**或**比較系數法**來求解 $a, b, c$ 的值，再比較它們的大小。

### 步驟1：代入特殊值求 $a, b, c$
已知 $f(x) = a(x-1)(x-3) + b(x-1)(x-4) + c(x-3)(x-4) = x^2$，我們可以選擇使某些項為0的 $x$ 值，簡化計算：

- **求 $a$**：令 $x = 4$，則 $b$ 和 $c$ 的項均為0：
\[
f(4) = a(4-1)(4-3) + 0 + 0 = 3a = 4^2 = 16 \implies a = \frac{16}{3}
\]

- **求 $b$**：令 $x = 3$，則 $a$ 和 $c$ 的項均為0：
\[
f(3) = 0 + b(3-1)(3-4) + 0 = -2b = 3^2 = 9 \implies b = -\frac{9}{2}
\]

- **求 $c$**：令 $x = 1$，則 $a$ 和 $b$ 的項均為0：
\[
f(1) = 0 + 0 + c(1-3)(1-4) = 6c = 1^2 = 1 \implies c = \frac{1}{6}
\]

### 步驟2：比較 $a, b, c$ 的大小
- $a = \frac{16}{3} \approx 5.33$
- $c = \frac{1}{6} \approx 0.17$
- $b = -\frac{9}{2} = -4.5$

因此，大小關系為 $a > c > b$。

### 最終答案
選項 $\boxed{(2)}$ 報錯
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04 – 114學測數學b試題07

某人使用單點透視法,以地平線上一點為消失點,將地平面上的六根鉛直柱子$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$畫在坐標平面上,各柱柱頂與柱底的坐標如下表,並且讓點$V(4,9)$代表消失點,如圖所示。因圖形中$A$、$F$兩柱的柱底連線與柱頂連線均平行於地平線,故$A$、$F$兩柱的實際高度相等。根據上述,試選出實際高度最大的柱子。

[單選]

答案

$\because E高度=5-1=4且距離最遠$
答案：(4) 報錯
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04 – 114學測數學b試題08

設$\Gamma$為坐標平面上函數$y = x^3 – x$的圖形。試選出正確的選項。(1) $\Gamma$的對稱中心為原點；(2) $\Gamma$在$x = 0$附近會近似於直線$y = x$；(3) $\Gamma$經適當平移後可與函數$y = x^3 + x + 3$的圖形重合；(4) $\Gamma$與函數$y = x^3 + x$的圖形對稱於$x$軸；(5) $\Gamma$與函數$y = -x^3 + x$的圖形對稱於$y$軸

[多選]

答案

1. 對於(1),$f(-x)= -x^3 + x = - (x^3 - x)= - f(x)$,所以$y = x^3 - x$是奇函數,對稱中心為原點,(1)正確。
2. 對於(2),求$y = x^3 - x$在$x = 0$處的導數$y^\prime = 3x^2 - 1$,$x = 0$時,$y^\prime = - 1$,在$x = 0$附近近似直線為$y - 0 = - 1×(x - 0)$即$y = - x$,(2)錯誤。
3. 對於(3),$y = x^3 + x + 3$與$y = x^3 - x$形狀不同,平移無法重合,(3)錯誤。
4. 對於(4),$y = x^3 - x$與$y = x^3 + x$不關於$x$軸對稱,(4)錯誤。
5. 對於(5),$y = x^3 - x$與$y = -x^3 + x$,$f(x)$與$f(-x)$關係,可知二者關於$y$軸對稱,(5)正確。答案：(1)(5) 報錯
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04 – 114學測數學b試題09

坐標平面上設$O$為原點,且$P$點坐標為$(2, 2)$。已知向量$\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$,其中實數$\alpha$,$\beta$滿足$0 \leq \alpha \leq 1$,$0 \leq \beta \leq 1$。下列選項中,試選出可能的$A$、$B$點坐標。(1) $A(2, -3)$、$B(-4,3)$；(2) $A(3, 2)$、$B(3, 4)$；(3) $A(3, 4)$、$B(4, -1)$；(4) $A(1, 2)$、$B(2,1)$；(5) $A(1, -1)$、$B(1,1)$

[多選]

答案

由$\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}$,$0 \leq \alpha \leq 1$,$0 \leq \beta \leq 1$,可知$P$點在以$O$,$A$,$B$為頂點的平行四邊形內部（含邊界）。將各選項$A$、$B$坐標代入,利用向量加法的平行四邊形法則判斷,(2)(3)(4)符合。答案：(2)(3)(4) 報錯
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04 – 114學測數學b試題10

某羽球選手與甲、乙、丙、丁四位選手各比賽一場。賽後蒐集這四場比賽的數據,統計該選手的對手在比賽中殺球的總次數,以及每次殺球用時的平均及標準差,結果如下表所示。例如對手甲在該場殺球次數為$25$次、每次殺球用時平均$1.2$秒,每次殺球用時標準差$0.5$秒。
| 對手 | 該場殺球次數 | 每次殺球用時平均（秒） | 每次殺球用時標準差（秒） |
| — | — | — | — |
| 甲 | $25$ | $1.2$ | $0.5$ |
| 乙 | $14$ | $1.5$ | $0.3$ |
| 丙 | $20$ | $1.7$ | $0.2$ |
| 丁 | $30$ | $1.2$ | $0.4$ |
根據上述,對於甲、乙、丙、丁四位選手的表現,試選出正確的選項。(1) 丙在該場中每次殺球用時平均是四位中最多的；(2) 丁在該場中花在殺球的總用時是四位中最多的；(3) 甲在該場中每次殺球的用時都與丁相同；(4) 甲在該場中每次殺球用時的全距,大於丁在該場中每次殺球用時的全距；(5) 乙在該場中各次殺球的用時不可能都在$1.4$到$1.6$秒之間

[多選]

答案

1. 對於(1),丙每次殺球用時平均$1.7$秒,是四位中最多,(1)正確。
2. 對於(2),甲殺球總用時$25×1.2 = 30$秒,丁殺球總用時$30×1.2 = 36$秒,丁最多,(2)正確。
3. 對於(3),甲和丁平均用時相同,但標準差不同,說明用時不完全相同,(3)錯誤。
4. 對於(4),標準差不等,無法確定全距大小,(4)錯誤。
5. 對於(5),標準差$0.3$,根據$3\sigma$原則,大部分數據在$1.5 - 3×0.3 = 0.6$到$1.5 + 3×0.3 = 2.4$之間,所以各次殺球用時不可能都在$1.4$到$1.6$秒之間,(5)正確。答案：(1)(2)(5) 報錯
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04 – 114學測數學b試題11

設地球是一個球體。地球表面上五個點$A$、$B$、$C$、$D$、$E$的經緯度如下表,例如$A$點位在經度$0$度,北緯$60$度。

大圓為通過球心的平面與球面相交所形成的圓,且球面上相異兩點在大圓上所形成較小的弧為最短路徑。根據上述,試選出正確的選項。(1) 「北極點到$A$的最短路徑長」等於「北極點到$B$的最短路徑長」；(2) 「$A$到$B$的最短路徑長」等於「$C$到$D$的最短路徑長」；(3) $A$到$E$的最短路徑必經過$C$；(4) $C$到$D$的最短路徑必經過北極點；(5) 「$E$到北極點的最短路徑長」與「$C$到$D$的最短路徑長」的比為$2：3$

[多選]

答案

1. 分析選項(1)：
北極點到 $ A $ 的緯度差為 $ 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $，北極點到 $ B $ 的緯度差也為 $ 30^\circ $。球面上兩點沿大圓的最短距離與緯度差成正比，故兩者最短路徑長相等，選項(1)正確。

2. 分析選項(2)：
$ A $ 到 $ B $ 的經度差 $ 180^\circ $，緯度 $ 60^\circ $，其最短徑對應的圓心角需結合經緯度計算；$ C $ 到 $ D $ 經度差 $ 180^\circ $，緯度 $ 30^\circ $，兩者對應的大圓弧長不同（因緯度圈半徑不同），選項(2)錯誤。

3. 分析選項(3)：
$ A $（北緯 $ 60^\circ $，經度 $ 0^\circ $）到 $ E $（赤道，經度 $ 0^\circ $）的最短路徑沿經度 $ 0^\circ $ 的大圓（子午線），會經過北緯 $ 30^\circ $ 的點，但不一定是 $ C $（$ C $ 是北緯 $ 30^\circ $、經度 $ 0^\circ $，實際上會經過，此處需再驗證：經度相同的兩點最短徑沿子午線，故 $ A $ 到 $ E $ 必經過 $ C $，選項(3)正確。

4. 分析選項(4)：
$ C $ 到 $ D $ 經度差 $ 180^\circ $，緯度 $ 30^\circ $，其最短徑是沿緯度 $ 30^\circ $ 的大圓（經度 $ 180^\circ $ 的大圓），經過北極點，選項(4)正確。

5. 分析選項(5)：
$ E $ 到北極點的緯度差 $ 90^\circ $，$ C $ 到 $ D $ 的最短徑對應的圓心角需計算：$ C $（北緯 $ 30^\circ $，經度 $ 0^\circ $）與 $ D $（北緯 $ 30^\circ $，經度 $ 180^\circ $）的大圓弧長對應圓心角為 $ 120^\circ $（因緯度 $ 30^\circ $ 時，經度差 $ 180^\circ $ 的大圓弧心角為 $ 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ $）。兩者弧長比為 $ 90^\circ: 120^\circ = 3:4 $，非 $ 2:3 $，選項(5)錯誤。

综上，正確選項為(1)(3)(4)。" 報錯
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04 – 114學測數學b試題12

已知某等差數列的首項是$1$,末項是$81$,且$9$也在此數列中。設此數列的項數為$n$,其中$n \leq 100$。試選出正確的選項。(1) $n$為奇數；(2) $41$必在此等差數列；(3) 滿足條件的等差數列,其公差都是整數；(4) 滿足條件的等差數列共有$10$個；(5) 若$n$為$7$的倍數,則$n = 21$

[多選]

答案

設等差數列公差為$d$,$a_n = a_1 + (n - 1)d$,即$81 = 1 + (n - 1)d$,$d = \frac{80}{n - 1}$,又$9 = 1 + (m - 1)d$,可得$d = \frac{8}{m - 1}$,所以$\frac{80}{n - 1} = \frac{8}{m - 1}$,$n - 1 = 10(m - 1)$。
1. 對於(1),$n - 1 = 10(m - 1)$,$n = 10m - 9$,$n$為奇數,(1)正確。
2. 對於(2),$a_k = 1 + (k - 1)d = 41$,$40=(k - 1)d$,由$d = \frac{80}{n - 1}$,可得$40=(k - 1)\frac{80}{n - 1}$,$n - 1 = 2(k - 1)$,又$n = 10m - 9$,可推出$41$必在此數列,(2)正確。
3. 對於(3),$d = \frac{80}{n - 1}$,$n - 1$是$80$的正約數,$d$不一定是整數,(3)錯誤。
4. 對於(4),$n - 1$是$80$的正約數,$n - 1$取值有限,滿足$n \leq 100$的等差數列個數有限且不為$10$個,(4)錯誤。
5. 對於(5),$n = 10m - 9$,若$n$是$7$的倍數,$10m - 9 = 7s$,$10m = 7s + 9$,經分析可得$n = 21\vee13$時滿足,(5)不一定正確。答案：(1)(2) 報錯
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04 – 114學測數學b試題13

某景點旁邊有兩個停車場,假設某日任一停車場沒有空位的機率皆為$0.7$,且這兩個停車場是否有空位互不影響。若一輛車子在當天來到這兩個停車場外面,則至少有一個停車場內有空位的機率為 $0.\underline{○13 – 1}\ \underline{○13 – 2}$。

[選填]

答案

至少有一個停車場有空位的機率$P = 1 - 0.7×0.7 = 1 - 0.49 = 0.51$,即$\underline{○13 - 1}=5$,$\underline{○13 - 2}=1$。報錯
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04 – 114學測數學b試題14

坐標平面上,給定三點$A(0, 2)$、$B(-1,0)$、$C(4, 0)$。若直線$y = mx$將三角形$ABC$分成面積相等的兩部分,則$m = \underline{○14 – 1}$（化為最簡分數）。

[選填]

答案

$ m = \frac{5}{6} $。報錯
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04 – 114學測數學b試題15

某公司聘請$8$名新進員工,其中含$2$名翻譯、$3$名工程師與$3$名助理。將此$8$人分派給研發、測試兩個部門,其中每個部門各分派$4$人,且各需含$1$名翻譯與至少$1$名工程師。依此共有 $\underline{○15 – 1}\ \underline{○15 – 2}$種分配方法。

[選填]

答案

將 2 翻譯、3 工程師、3 助理共 8 人分派至「研發」與「測試」兩部門（各 4 人），且每部門至少有 1 名翻譯與 1 名工程師。

因翻譯僅 2 人，故兩部門**各分 1 名**。

研發部門的合法組合只有兩種：

1. **1 翻譯＋1 工程師＋2 助理**
　→ $ \binom{2}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 2 \times 3 \times 3 = 18 $

2. **1 翻譯＋2 工程師＋1 助理**
　→ $ \binom{2}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{3}{1} = 2 \times 3 \times 3 = 18 $

總計：$ 18 + 18 = 36 $

**答：36 種** 報錯
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