數學

設藍、綠、黃球數分別為 \(a, b, c\)，則
\[
a + b + c = 10
\]

1. 兩球皆藍的機率：
\[
\frac{C^a_2}{C^{10}_2} = \frac{a(a-1)/2}{45} = \frac{a(a-1)}{90} = \frac{1}{15}
\]
\[
a(a-1) = 6 \quad \Rightarrow \quad a^2 - a - 6 = 0
\]
\[
(a-3)(a+2) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \quad (\text{取正})
\]

2. 兩球皆綠的機率：
\[
\frac{C^b_2}{45} = \frac{b(b-1)/2}{45} = \frac{b(b-1)}{90} = \frac{2}{9}
\]
\[
b(b-1) = 20 \quad \Rightarrow \quad b^2 - b - 20 = 0
\]
\[
(b-5)(b+4) = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 5
\]

3. 因此
\[
c = 10 - a - b = 10 - 3 - 5 = 2
\]

4. 兩球同色的機率：
\[
P_{\text{同}} = \frac{C^3_2 + C^5_2 + C^2_2}{45}
= \frac{3 + 10 + 1}{45} = \frac{14}{45}
\]

5. 兩球異色的機率：
\[
P_{\text{異}} = 1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}
\]

**答案：** \(\boxed{\frac{31}{45}}\) 報錯
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1. 老師站中間,先排老師,有\(1\)種排法。
2. 不考慮男女相鄰限制,對\(6\)個同學全排列有\(A_{6}^6\)種排法。
3. 三位男生全在老師同一側的排法有\(2×A_{3}^3×A_{3}^3\)種（\(2\)表示男生在左側或右側,\(A_{3}^3\)分別表示男生和女生的排列）。
4. 把有不愉快的男女看作一個整體（相鄰）的排法有\(2×A_{5}^5\)種（\(2\)表示男女相鄰的順序,\(A_{5}^5\)表示整體與其他人的排列）,其中包含了三位男生全在老師同一側且這對男女相鄰的情況,需減去。
5. 所以滿足條件的排法有\(A_{6}^6 - 2×A_{3}^3×A_{3}^3 - 2×A_{5}^5 + 2×2×A_{4}^4 = 720 - 72 - 240 + 96 = 504\)種,即\(\underline{○17 - 1}=504\),\(\underline{○17 - 2}=0\),\(\underline{○17 - 3}=0\)。 報錯
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1. 根據傾斜度的定義,傾斜度\(\theta\)滿足\(\sin\theta=\frac{偏移距離}{塔高}\)。
2. 對於虎丘塔,\(\sin\theta_{1}=\frac{2.3}{48}\)；對於護珠塔,\(\sin\theta_{2}=\frac{2.3}{19}\)；對於比薩斜塔,\(\sin\theta_{3}=\frac{4}{57}\)。
3. 因為\(\frac{2.3}{19}>\frac{4}{57}>\frac{2.3}{48}\)（通分比較大小：\(\frac{2.3×3}{19×3}=\frac{6.9}{57}\),\(\frac{6.9}{57}>\frac{4}{57}\),\(\frac{2.3}{48}=\frac{2.3×19}{48×19}=\frac{43.7}{912}\),\(\frac{4}{57}=\frac{4×16}{57×16}=\frac{64}{912}\),\(\frac{43.7}{912}<\frac{64}{912}\)）,且\(y = \sin\theta\)在\(0\leq\theta<90^{\circ}\)單調遞增,所以\(\theta_{2}>\theta_{3}>\theta_{1}\)。 報錯
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1. 設塔高為\(h\),根據\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\),可得一座鐵塔偏移距離\(d_{1}=h\sin\alpha=\frac{1}{3}h\)；根據\(\sin\beta=\frac{1}{6}\),可得另一座鐵塔偏移距離\(d_{2}=h\sin\beta=\frac{1}{6}h\)。
2. 已知\(\vert d_{1}-d_{2}\vert = 20\),即\(\vert\frac{1}{3}h-\frac{1}{6}h\vert = 20\),\(\frac{1}{6}h = 20\),解得\(h = 120\)。
3. 塔頂到地面距離,一座為\(h\cos\alpha = h\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=120×\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}} = 120×\frac{2\sqrt{2}}{3}=80\sqrt{2}\),另一座為\(h\cos\beta = h\sqrt{1 - \sin^{2}\beta}=120×\sqrt{1 - (\frac{1}{6})^{2}} = 120×\frac{\sqrt{35}}{6}=20\sqrt{35}\)。
4. 它們塔頂到地面距離相差\(\vert80\sqrt{2}-20\sqrt{35}\vert\),計算\(80\sqrt{2}-20\sqrt{35}=20(4\sqrt{2}-\sqrt{35})\),\((4\sqrt{2})^{2}=32\),\((\sqrt{35})^{2}=35\),\(4\sqrt{2}<\sqrt{35}\),所以相差\(20(\sqrt{35}-4\sqrt{2})\)公尺。 報錯
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