設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式，已知 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 時有最小值1且 \( f(3)=3 \)。請問 \( f(1) \) 之值為下列哪一選項？
(1) 5 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5)條件不足，無法確定。
答案
105學測數學
105學測數學考科–02
請問 \(\sin 73^\circ\)、\(\sin 146^\circ\)、\(\sin 219^\circ\)、\(\sin 292^\circ\)、\(\sin 365^\circ\) 這五個數值的中位數是哪一個？
(1) \(\sin 73^\circ\) (2) \(\sin 146^\circ\) (3) \(\sin 219^\circ\) (4) \(\sin 292^\circ\) (5) \(\sin 365^\circ\)。
105學測數學考科–03
坐標平面上兩圖形 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 的方程式分別為：\(\Gamma_1 : (x+1)^2 + y^2 = 1\)、\(\Gamma_2 : (x+y)^2 = 1\)。請問 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 共有幾個交點？
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個。
答案
105學測數學考科–04
放射性物質的半衰期T定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質A、B，開始記錄時容器中物質A的質量為物質B的兩倍，而120小時後兩種物質的質量相同。已知物質A的半衰期為7.5小時，請問物質B的半衰期為幾小時？
(1)8小時 (2)10小時 (3)12小時 (4)15小時 (5)20小時。
答案
設B初始質量為 \( m \)，則A初始為 \( 2m \)。120小時後：\( 2m \times (\frac{1}{2})^{120/7.5} = m \times (\frac{1}{2})^{120/T} \)。化簡得 \( 2 \times (\frac{1}{2})^{16} = (\frac{1}{2})^{120/T} \Rightarrow (\frac{1}{2})^{15} = (\frac{1}{2})^{120/T} \Rightarrow 15 = \frac{120}{T} \Rightarrow T=8 \)。答案：(1) 報錯
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105學測數學考科–05
坐標空間中一質點自點$P(1,1,1)$沿著方向$a=(1,2,2)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$b=(-2,2,-1)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面x=2上？
(1)$1$秒 (2)$2$秒 (3)$3$秒 (4)$4$秒 (5)永遠不會到達。
答案
105學測數學考科–06
設 \((a_i)\) 為一等比數列。已知前十項的和為 \(\sum\limits_{i=1}^{10} a_i = 80\)，前五個奇數項的和為 \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 120\)，請選出首項 \( a_1 \) 的正確範圍。
(1) \( a_1 \lt 80 \) (2) \( 80 \leq a_1 \lt 90 \) (3) \( 90 \leq a_1 \lt 100 \) (4) \( 100 \leq a_1 \lt 110 \) (5) \( 110 \leq a_1 \)。
答案
設公比為 \( r \)。由 \( S_{10} = \frac{a_1(1-r^{10})}{1-r} = 80 \)，奇數項和 \( S_{奇} = \frac{a_1(1-r^{10})}{1-r^2} = 120 \)。相除得 \( 1+r = \frac{2}{3} \Rightarrow r = -\frac{1}{3} \)。代入得 \( a_1 (1 - (-\frac{1}{3})^{10}) = 80(1 - (-\frac{1}{3})) \Rightarrow a_1 \approx \frac{320}{3} \approx 106.67 \)。故選(4)。答案：(4) 報錯
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105學測數學考科–07
下列各方程式中，請選出有實數解的選項：
(1) \(|x|+|x-5|=1\) (2) \(|x|+|x-5|=6\) (3) \(|x|-|x-5|=1\) (4) \(|x|-|x-5|=6\) (5) \(|x|-|x-5|=-1\)。
答案
105學測數學考科–08
下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「35元／一袋2顆」表示每一袋有2顆奇異果，價格35元。
依據上述數據，請選出正確的選項。
(1)在甲商場買一袋3顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果
(2)乙商場的奇異果售價，一袋裝最多顆者，其每顆單價愈低
(3)若只想買奇異果，則在甲商場花500元最多可以買到30顆奇異果
(4)如果要買12顆奇異果和4顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額
(5)無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額。
答案
105學測數學考科–09
下列各直線中，請選出和z軸互為歪斜線的選項。
(1) \( L_1 : \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} \) (2) \( L_2 : \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 1 \end{cases} \) (3) \( L_3 : \begin{cases} z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases} \) (4) \( L_4 : \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \) (5) \( L_5 : \begin{cases} y = 1 \\ z = 1 \end{cases} \)。
答案
105學測數學考科–10
設 \( a, b, c \) 皆為正整數，考慮多項式 \( f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2 \)，請選出正確的選項。
(1) \( f(x) = 0 \) 無正根 (2) \( f(x) = 0 \) 一定有實根 (3) \( f(x) = 0 \) 一定有虛根 (4) \( f(1) + f(-1) \) 的值是偶數 (5)若 \( a + c > b + 3 \)，則 \( f(x) = 0 \) 有一根介於 -1 與 0 之間。
答案
