108學測數學

點\(A(1,0)\)在單位圓\(\Gamma: x^2 + y^2 = 1\)上。試問：\(\Gamma\)上除了\(A\)點以外，還有幾個點到直線\(L: y = 2x\)的距離，等於\(A\)點到\(L\)的距離？
(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 0個。

下列哪一個選項是方程式 \(x^3 – x^2 + 4x – 4 = 0\) 的解？（註：\(i = \sqrt{-1}\)）
(1) \(-2i\) (2) \(-i\) (3) \(i\) (4) \(2\) (5) \(4\)。

試問共有多少組正整數 \((k,m,n)\) 滿足 \(2^k 8^m = 512\)？
(1) 1組 (2) 2組 (3) 3組 (4) 4組 (5) 0組。

廚師購買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
(1) 3 (2) 6 (3) 9 (4) 18 (5) 27。

設正實數\(b\)滿足 \(\log(100)(\log b) + \log 100 + \log b = 7\)，試選出正確的選項。
(1) \(1 \leq b \leq \sqrt{10}\)
(2) \(\sqrt{10} \leq b \leq 10\)
(3) \(10 \leq b \leq 10\sqrt{10}\)
(4) \(10\sqrt{10} \leq b \leq 100\)
(5) \(100 \leq b \leq 100\sqrt{10}\)。

某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在\(6^\circ C\)到\(24^\circ C\)時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為-0.99，部分紀錄如下表。

某日平均氣溫為\(8^\circ C\)，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？
(1) 570杯 (2) 625杯 (3) 700杯 (4) 755杯 (5) 800杯。

設各項都是實數的等差數列 \(a_1, a_2, a_3, \cdots\) 之公差為正實數\(\alpha\)，試選出正確的選項。
(1)若 \(b_n = -a_n\)，則 \(b_1 \gt b_2 \gt \cdots\)
(2)若 \(c_n = a_n^2\)，則 \(c_1 \lt c_2 \lt c_3 \lt \cdots\)
(3)若 \(d_n = a_n + a_{n+1}\)，則 \(d_1, d_2, d_3, \cdots\) 是公差為\(\alpha\)的等差數列
(4)若 \(e_n = a_n + n\)，則 \(e_1, e_2, e_3, \cdots\) 是公差為\(\alpha + 1\)的等差數列
(5)若 \(f_n\) 為 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\)的算術平均數，則 \(f_1, f_2, f_3, \cdots\) 是公差為\(\alpha\)的等差數列。

在數線上，甲從點-8開始做等速運動，同時乙也從點10開始做等速運動，乙移動的速率是甲的\(a\)倍，且\(a \gt 1\)。試選出正確的選項。
(1)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們會相遇
(2)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們不會相遇
(3)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則乙先到達原點0
(4)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們之間的距離會越來越大
(5)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們在點-2相遇，則\(a=2\)。

從1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。
(1)其和大於10的機率為\(\frac{1}{7}\)
(2)其和小於5的機率為\(\frac{1}{7}\)
(3)其和為奇數的機率為\(\frac{4}{7}\)
(4)其差為偶數的機率為\(\frac{5}{7}\)
(5)其積為奇數的機率為\(\frac{2}{7}\)。

在\(\triangle ABC\)中，已知\(50^\circ \lt \angle A \lt \angle B \lt 60^\circ\)，試選出正確的選項：
(1) \(\sin A \lt \sin B\) (2) \(\sin B \lt \sin C\) (3) \(\cos A \lt \cos B\) (4) \(\sin C \lt \cos C\) (5) \(\overline{AB} \lt \overline{BC}\)。