〈110學測數學〉彙整頁面

110學測數學考科_01

設 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)。若 \( A^4 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，則 \( a + b + c + d \) 之值為下列哪一個選項？
(1) 158
(2) 162
(3) 166
(4) 170
(5) 174

答案

計算 \( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \)，再計算 \( A^4 = A^2 \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 80 \\ 0 & 81 \end{bmatrix} \)，得 \( a=1, b=80, c=0, d=81 \)，和為 162。(2) 報錯
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110學測數學考科_02

五項實數數列 \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \) 的每一項都大於1，且每相鄰的兩項中，都有一數是另一數的兩倍。若 \( a_1 = \log_{10} 36 \)，則 \( a_5 \) 有多少種可能的值？
(1) 3
(2) 4
(3) 5
(4) 7
(5) 8

答案

設從 \( a_1 \) 到 \( a_5 \) 共經過「×2」x 次，「÷2」y 次，則 \( x+y=4 \)。又 \( a_5 = \log_{10} 36 \times 2^{x-y} \gt 1 \)，可得 \( x \ge y \)。滿足 \( x+y=4 \) 且 \( x \ge y \) 的非負整數解有 (4,0), (3,1), (2,2) 共三組，故 \( a_5 \) 有 3 種可能值。(1) 報錯
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110學測數學考科_03

如右圖，\(\triangle ABC\) 為銳角三角形，\( P \) 為 \(\triangle ABC\) 外接圓 \( \Gamma \) 外的一點，且 \( PB \) 與 \( PC \) 都與圓 \( \Gamma \) 相切。設 \(\angle BPC = \theta\)，試問 \( \cos A \) 的值為下列哪一個選項？
(1) \(\sin 2\theta\)
(2) \(\frac{\sin \theta}{2}\)
(3) \(\sin \frac{\theta}{2}\)
(4) \(\frac{\cos \theta}{2}\)
(5) \(\cos \frac{\theta}{2}\)

答案

連接圓心 O，則 \(\angle OBP = \angle OCP = 90^\circ\)，四邊形 OBPC 中，\(\angle BOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \theta = 180^\circ - \theta\)。圓周角 \(\angle A = \frac{1}{2} \angle BOC = 90^\circ - \frac{\theta}{2}\)，故 \(\cos A = \cos(90^\circ - \frac{\theta}{2}) = \sin \frac{\theta}{2}\)。(3) 報錯
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110學測數學考科_04

設 \( a \) 與 \( b \) 都是平面上不為零的向量。若 \( 2\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 2\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為 \( 6 \)，則 \( 3\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 3\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 9
(3) 12
(4) 13.5
(5) 16

答案

設 \( a, b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \Delta \)，則 \( 2a+b \) 與 \( a+2b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \Delta = 3\Delta \)，三角形面積為 \( \frac{1}{2} \times 3\Delta = 6 \)，得 \( \Delta = 4 \)。\( 3a+b \) 與 \( a+3b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \Delta = 8 \times 4 = 32 \)，三角形面積為 \( \frac{1}{2} \times 32 = 16 \)。(5) 報錯
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110學測數學考科_05

設 \( f(x) \) 為實係數三次多項式函數，滿足 \((x+1)f(x)\) 除以 \( x^3+2 \) 的餘式為 \( x+2 \)。若 \( f(0)=4 \)，則 \( f(2) \) 的值為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 10
(3) 15
(4) 18
(5) 20

答案

由除法原理：\((x+1)f(x) = (x^3+2)(ax+b) + (x+2)\)。令 \( x=0 \) 得 \( f(0) = 2b+2 = 4 \)，故 \( b=1 \)。令 \( x=-1 \) 得 \( 0 = ((-1)^3+2)(-a+b) + 1 = (1)(-a+1)+1 = -a+2 \)，故 \( a=2 \)。代入得 \((x+1)f(x) = (x^3+2)(2x+1) + (x+2)\)，令 \( x=2 \) 得 \( 3f(2) = (10)(5) + 4 = 54 \)，故 \( f(2)=18 \)。(4) 報錯
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110學測數學考科_06

坐標平面上有一邊長為 3 的正六邊形 \( ABCDEF \)，其中 \( A(3,0)\cdot D(-3,0) \)。
試問橢圓 \( \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1 \) 與正六邊形 \( ABCDEF \) 有多少個交點？
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
(5) 8

答案

正六邊形頂點 B 坐標約為 \( (1.5, 2.598) \)，橢圓短軸頂點 \( B'(0, \sqrt{7}) \approx (0, 2.646) \)，略高於 B 點。由圖形分析，橢圓與正六邊形的六條邊各產生兩個交點（長軸兩側與左右兩組平行邊相交），共 8 個交點。(5) 報錯
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110學測數學考科_07

心理學家找了1000位受試者進行暗室實驗，每位受試者都要觀看及辨識6、8、9三張數字卡，發現將實際數字看成某個數字的機率如下表：

實際數字	看成數字	6	8	9	其他
6		0.4	0.3	0.2	0.1
8		0.3	0.4	0.1	0.2
9		0.2	0.2	0.5	0.1

例如：實際數字6被看成6、8、9的機率分別為0.4、0.3、0.2，而被看成其他數字的機率是0.1。根據上述實驗結果，試選出正確的選項。
(1)如果實際數字是8，則至少有一半的可能性會被看成是8
(2)如果實際數字是6，則有六成的可能性會被看成不是6
(3)在6、8、9三數字中，被誤認的可能性以9最低
(4)如果被看成數字是6，則實際上就是6的可能性不到一半
(5)如果被看成數字是9，則實際上就是9的可能性超過 \(\frac{2}{3}\)

答案

(1)錯誤：P(8看成8)=0.4<0.5。
(2)正確：P(6看成非6)=1-0.4=0.6。
(3)正確：P(9誤認)=1-0.5=0.5，P(8誤認)=0.6，P(6誤認)=0.6，故9的誤認可能性最低。
(4)正確：P(實際6|看成6)=0.4/(0.4+0.3+0.2)=4/9<0.5。
(5)錯誤：P(實際9|看成9)=0.5/(0.2+0.1+0.5)=5/8<2/3。(2)(3)(4) 報錯
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110學測數學考科_08

如右圖，\( L \) 為坐標平面上通過原點 \( O \) 的直線，\( \Gamma \) 是以 \( O \) 為圓心的圓，且 \( L \) 與 \( \Gamma \) 有一個交點 \( A(3, 4) \)。已知 \( B \cdot C \) 為 \( \Gamma \) 上的相異兩點滿足 \( BC = OA \)。試選出正確的選項。
(1) \( L \) 與 \( \Gamma \) 的另一個交點為 \( (-4, -3) \)
(2) 直線 \( BC \) 的斜率為 \(\frac{3}{4}\)
(3) ∠\( AOC = 60^\circ\)
(4) △\( ABC \) 的面積為 \(\frac{25\sqrt{3}}{2}\)
(5) \( B \) 與 \( C \) 在同一象限內

答案

(1)錯誤：另一交點為 \( A'(-3,-4) \)。
(2)錯誤：BC 平行 OA，斜率為 4/3。
(3)正確：OA=BC=5，OB=OC=5，故 △OBC 為正三角形，∠BOC=60°，又 BC // OA，故 ∠AOC=60°。
(4)錯誤：△ABC 面積為 \( \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times \sin 120^\circ = \frac{25\sqrt{3}}{4} \)。
(5)正確：由圖形旋轉判斷，B、C 在同一象限。(3)(5) 報錯
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110學測數學考科_09

某村的村長選舉設有兩個投票所。已知兩位候選人在各投票所得的有效票數比例如下表（廢票不列入計算）：

	甲候選人	乙候選人
第一投票所	40 %	60 %
第二投票所	55 %	45 %

假設第一投票所與第二投票所的有效票數分別為 \( x \) 與 \( y \)（其中 \( x > 0, y > 0 \)），且以總得票數較高者為當選人。根據上述表格，試選出正確的選項。
(1) 當有效票數的總和 \( x + y \) 已知時，就可決定當選人
(2) 當 \( x : y \) 的比值小於 \(\frac{1}{2}\) 時，就可決定當選人
(3) 當 \( x > y \) 時，就可決定當選人
(4) 當甲候選人在第一投票所的有效票數比在第二投票所的有效票數多時，就可決定當選人
(5) 當乙候選人在第二投票所的有效票數比在第一投票所的有效票數多時，就可決定當選人

答案

甲總得票：0.4x+0.55y，乙總得票：0.6x+0.45y。甲當選 ⇔ 0.4x+0.55y > 0.6x+0.45y ⇔ y > 2x ⇔ x/y < 1/2。
(1)錯誤：需知 x/y。
(2)正確：x/y < 1/2 則甲當選。
(3)正確：x>y ⇒ x/y>1>1/2 則乙當選。
(4)正確：0.4x>0.55y ⇒ x/y>11/8>1/2 則乙當選。
(5)錯誤：0.45y>0.6x ⇒ x/y<3/4，無法確定與1/2的大小關係。(2)(3)(4) 報錯
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110學測數學考科_10

在 \(\triangle ABC\) 中，已經知道 \(AB = 4\) 和 \(AC = 6\)，此時尚不足以確定 \(\triangle ABC\) 的形狀與大小。但是，只要再知道某些條件（例如：再知道 \(BC\) 的長度），就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。
(1) 如果再知道 \(\cos A\) 的值，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(2) 如果再知道 \(\cos B\) 的值，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(3) 如果再知道 \(\cos C\) 的值，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(4) 如果再知道 \(\triangle ABC\) 的面積，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(5) 如果再知道 \(\triangle ABC\) 的外接圓半徑，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小

答案

(1)正確：已知兩邊夾角 (SAS) 可唯一確定三角形。
(2)正確：已知 AB=4, AC=6, AC>AB，且知道 ∠B，符合「已知兩邊及大邊對角」可唯一確定三角形。
(3)錯誤：已知 AB=4, AC=6, AC>AB，若 ∠C 為銳角，則 ∠B 可能為銳角或鈍角，三角形不唯一。
(4)錯誤：面積給定可求 sin A，但 ∠A 有銳角與鈍角兩可能。
(5)錯誤：由正弦定理 \( \frac{AC}{\sin B} = 2R \) 得 sin B，∠B 有兩可能。(1)(2) 報錯
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