右圖為一個積木的示意圖，其中 \( ABC \) 為一直角三角形，\( \angle ACB = 90^\circ, \overline{AC} = 5, \overline{BC} = 6 \)，且 \( ADEB \) 與 \( ADFC \) 皆為矩形。試選出正確的選項。
(1)將此積木沿平面 \( ACE \) 切下，可切得兩個四面體
(2)平面 \( ADEB \) 與 \( ADFC \) 所夾銳角大於 \( 45^\circ \)
(3) \( \angle CEB \lt \angle AEB \)
(4) \( \tan \angle AEC \lt \sin \angle CEB \)
(5) \( \angle CEB \lt \angle AEC \)
設 \( f(x) \cdot g(x) \) 皆為實係數多項式，其中 \( g(x) \) 是首項係數為正的二次式。已知 \( (g(x))^2 \) 除以 \( f(x) \) 的餘式為 \( g(x) \)，且 \( y=f(x) \) 的圖形與 x 軸無交點。試選出不可能是 \( y=g(x) \) 圖形頂點的 y 坐標之選項。
(1) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (2) 1 (3) \( \sqrt{2} \) (4) 2 (5) \( \pi \)
有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用 1500 枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 2%，在第十次為 10%。今某生有代幣 23000 枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為 __________ 張。
已知 \( a, b \) 為實數，且方程組
\( ax + 5y + 12z = 4 \)
\( x + ay + \frac{8}{3}z = 7 \)
\( 3x + 8y + az = 1 \)
恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為
\( \begin{bmatrix} 1 & 2 & b & 7 \\ 0 & b & 5 & -5 \\ 0 & 0 & b & 0 \end{bmatrix} \)。
則 \( a = \) __________ , \( b = \) __________。（化為最簡分數）
如右圖，王家有塊三角形土地 \( \triangle ABC \)，其中 \( \overline{BC}=16 \) 公尺。政府擬徵收其中梯形 \( DBCE \) 部分，開闢以直線 \( DE \)、\( BC \) 為邊緣的馬路，其路寬為 \( h \) 公尺，這讓王家土地只剩原有面積的 \( \frac{9}{16} \)。經協商，改以開闢平行直線 \( BE \)、\( FC \) 為邊緣的馬路，且路寬不變，其中 \( \angle EBC=30^\circ \)，則只需徵收 \( \triangle BCE \) 區域。依此協商，王家剩餘的土地 \( \triangle ABE \) 有 __________ 平方公尺。
由 \( \triangle ADE \) 面積 = \( \frac{9}{16} \triangle ABC \) 面積，得 \( DE = \frac{3}{4} BC = 12 \)
\( h = BC \times \sin 30^\circ = 8 \)
梯形 \( DBCE \) 面積 = \( \frac{1}{2}(12+16) \times 8 = 112 \)
\( \triangle ABE \) 面積 = \( \frac{9}{7} \times 112 + \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 192 \) 平方公尺 報錯
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坐標空間中，平面 \( x-y+2z=3 \) 上有兩相異直線 \( L: \frac{x}{2}-1=y+1=-2z \) 與 \( L’ \)。已知 \( L \) 也在另一平面 \( E \) 上，且 \( L’ \) 在 \( E \) 的投影與 \( L \) 重合。則 \( E \) 的方程式為 \( x + \) __________ \( y + \) __________ \( z = \) __________。
\( L \) 方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{v} = (2, 1, -\frac{1}{2}) \)，平面 \( x-y+2z=3 \) 法向量 \( \overset{\rightharpoonup}{n}=(1, -1, 2) \)
投影方向向量 \( \overset{\rightharpoonup}{d} = \overset{\rightharpoonup}{v} \times \overset{\rightharpoonup}{n} = (1, -3, -2) \)
取 \( E \) 法向量 \( \overset{\rightharpoonup}{n_E} = (1, -3, -2) \)，過 \( L \) 上一點 \( (2, -1, 0) \) 得 \( x-3y-2z=5 \) 報錯
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坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為 \( (-1, 2, 1) \), \( (-4, 1, 3) \), \( (2, 0, -3) \)，另一面之一頂點在 xy 平面上且與原點距離為 1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為 __________。
設 \( A(-1,2,1), B(2,0,-3), C(-4,1,3) \)，則 \( \overset{\rightharpoonup}{AB} = (3,-2,-4), \overset{\rightharpoonup}{AC} = (-3,-1,2) \)
底面積 = \( |\overset{\rightharpoonup}{AB} \times \overset{\rightharpoonup}{AC}| = |(-8,6,-9)| = \sqrt{181} \)
設 \( D(x,y,0) \) 在 xy 平面且 \( x^2+y^2=1 \)，高為 \( D \) 到平面 \( ABC \) 距離，利用柯西不等式得最大距離為 \( \frac{|8x-6y+11|}{\sqrt{181}} \) 的最大值為 \( \frac{21}{\sqrt{181}} \)
最大體積 = 底面積 × 高 = \( \sqrt{181} \times \frac{21}{\sqrt{181}} = 21 \) 報錯
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[題組:第18-20題]坐標平面上有一環狀區域由圓 \( x^2+y^2=3 \) 的外部與圓 \( x^2+y^2=4 \) 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之x軸上方的某區域R。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓 \( C_1: x^2+y^2=3 \) (\( y \geq 0 \))、\( C_2: x^2+y^2=4 \) (\( y \geq 0 \))上移動。開始時掃描棒黑端在點 \( A(\sqrt{3}, 0) \)，白端在 \( C_2 \) 的點 \( B \)。接著黑、白兩端各沿著 \( C_1 \)、\( C_2 \) 逆時針移動，直至白端碰到 \( C_2 \) 的點 \( B'(-2, 0) \)便停止掃描。
18. 試問點 \( B \) 的坐標為下列哪一選項？（單選題，3分）
(1) \( (0, 2) \)
(2) \( (1, \sqrt{3}) \)
(3) \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)
(4) \( (\sqrt{3}, 1) \)
(5) \( (2, 0) \)
[題組:第18-20題]
19. 令 \( O \) 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 \( A’ \)、\( B’ \)。試在右側作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域 \( R \)，並求 \( \cos \angle OA’B’ \) 及點 \( A’ \) 的極坐標。（非選擇題，6分）
設 \( A'(c,d) \)，由 \( A' \) 在 \( x^2+y^2=3 \) 上且 \( \overline{A'B'}=1 \)，得 \( c^2+d^2=3 \), \( (c+2)^2+d^2=1 \)
相減得 \( 4c+4=-2 \Rightarrow c=-\frac{3}{2} \)，代入得 \( d=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
∴ \( A' \left( -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)，極坐標 \( \left[ \sqrt{3}, \frac{5\pi}{6} \right] \)
\( \cos \angle OA'B' = \frac{\overset{\rightharpoonup}{A'O} \cdot \overset{\rightharpoonup}{A'B'}}{|\overset{\rightharpoonup}{A'O}||\overset{\rightharpoonup}{A'B'}|} = 0 \) 報錯
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[題組:第18-20題]
20. （承18題）令 \( \Omega \) 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 \( \Omega \) 與 \( R \) 的面積。（非選擇題，6分）
\( \Omega \) 面積 = 扇形 \( OBD \) 面積 + \( \triangle OAB \) 面積 - 扇形 \( OAC \) 面積
= \( \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 - \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \)
\( R \) 面積 = \( \Omega \) 面積 + 第二象限掃過區域面積 = \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \right) + \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{5\pi}{12} \) 報錯
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