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111學測數學B試題-11

考慮坐標平面上的點$O(0,0)$ 、$A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $E$、 $F$、 $G$,如下圖所示：

其中$B$點、$C$與$D$點、$E$與$F$點、$G$與$A$點依序在一、二、三、四象限內。若$\vec{v}$為坐標平面上的向量,且滿足$\vec{v}\cdot\overrightarrow{OA} \gt 0$及$\vec{v}\cdot\overrightarrow{OB} \gt 0$,則$\vec{v}$與下列哪些向量的內積一定小於$0$ ？(1) $\overrightarrow{OC}$；(2) $\overrightarrow{OD}$；(3) $\overrightarrow{OE}$；(4) $\overrightarrow{OF}$；(5) $\overrightarrow{OG}$

答案

由$\vec{v}\cdot\overrightarrow{OA} \gt 0$及$\vec{v}\cdot\overrightarrow{OB} \gt 0$可知$\vec{v}$與$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$夾角為銳角,$\vec{v}$大致在第一象限。$\overrightarrow{OC}$在第二象限,$\overrightarrow{OD}$在第二象限,$\overrightarrow{OE}$在第三象限,$\overrightarrow{OF}$在第三象限,$\overrightarrow{OG}$在第四象限。$\vec{v}$與第二、三象限向量夾角大機率為鈍角,內積小於$0$,所以$\vec{v}$與$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{OE}$、$\overrightarrow{OF}$內積一定小於$0$。答案：(1)(2)(3)(4) 報錯
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111學測數學B試題-12

設$a$, $b$, $c$都是非零的實數,且二次方程式$ax^{2}+bx + c = 0$的兩根都落在$1$和$3$之間。試選出兩根必定都落在$4$和$5$之間的方程式。(1) $a(x – 2)^{2}+b(x – 2)+c = 0$；(2) $a(x + 2)^{2}+b( x + 2)+c = 0$；(3) $a(2x – 7)^{2}+b(2x – 7)+c = 0$；(4) $a(2x + 7)^{2}+b(2x + 7)+c = 0$；(5) $a(3x – 11)^{2}+b(3x – 11)+c = 0$

答案

1. 對於$y = a(x - 2)^{2}+b(x - 2)+c$,令$t = x - 2$,則方程變為$at^{2}+bt + c = 0$,相當於原方程向右平移$2$個單位,根落在$3$和$5$之間,(1)錯誤。
2. 對於$y = a(x + 2)^{2}+b( x + 2)+c$,令$t = x + 2$,則方程變為$at^{2}+bt + c = 0$,相當於原方程向左平移$2$個單位,根落在$-1$和$1$之間,(2)錯誤。
3. 對於$y = a(2x - 7)^{2}+b(2x - 7)+c$,令$t = 2x - 7$,則$x=\frac{t + 7}{2}$,原方程根$1\lt x\lt3$,則$1\lt\frac{t + 7}{2}\lt3$,解得$-5\lt t\lt -1$,(3)錯誤。
4. 對於$y = a(2x + 7)^{2}+b(2x + 7)+c$,令$t = 2x + 7$,則$x=\frac{t - 7}{2}$,原方程根$1\lt x\lt3$,則$1\lt\frac{t - 7}{2}\lt3$,解得$9\lt t\lt13$,(4)錯誤。
5. 對於$y = a(3x - 11)^{2}+b(3x - 11)+c$,令$t = 3x - 11$,則$x=\frac{t + 11}{3}$,原方程根$1\lt x\lt3$,則$1\lt\frac{t + 11}{3}\lt3$,解得$-8\lt t\lt -2$,(5)錯誤。無正確選項報錯
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111學測數學B試題-13

若 $ x, y $ 為兩正實數，且滿足 $ x^{\frac{-1}{3}}y^2 = 1 $ 及 $ 2 \log y = 1 $，則 $ \frac{x – y^2}{10} = \boxed{\phantom{00}} \boxed{\phantom{00}} $。

答案

1. 由 $ 2 \log y = 1 $ 得
\[
\log y = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 10^{1/2} = \sqrt{10}.
\]
因此
2. 由 $ x^{-1/3} y^2 = 1 $ 得
\[
x^{-1/3} \cdot 10 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^{-1/3} = \frac{1}{10}.
\]
取倒數再立方：
\[
x^{1/3} = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 10^3 = 1000.
\]

3. 計算
\[
\frac{x - y^2}{10} = \frac{1000 - 10}{10} = \frac{990}{10} = 99.
\]

**答案：** $ \boxed{99} $ 報錯
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111學測數學B試題-14

坐標平面上有一個半徑為$7$的圓,其圓心為$O$點。已知圓上有$A$, $B$兩點,且$AB = 8$ ,則內積$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\underline{○14 – 1}\ \underline{○14 – 2}$ 。

答案

在$\triangle AOB$中,$\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert = 7$,$\vert\overrightarrow{AB}\vert = 8$。根據余弦定理$\cos\angle AOB=\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{OB}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}}{2\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{7^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\times7\times7}=\frac{49 + 49 - 64}{98}=\frac{34}{98}=\frac{17}{49}$。則$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos\angle AOB = 7\times7\times\frac{17}{49}=17$。即$\underline{○14 - 1}=17$,$\underline{○14 - 2}=0$。報錯
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111學測數學B試題-15

根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有$70\%$後來會被找到,在被找到的輕航機當中,有$60\%$裝設緊急定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當中,則有$90\%$未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發送訊號,讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤,若已知該機有裝設緊急定位傳送器,則它會被找到的機率為$\underline{○15 – 1}\ \underline{○15 – 2}\ \underline{○15 – 3}\ \underline{○15 – 4}$。（化為最簡分數）

答案

1. 設事件$A$表示“輕航機被找到”,事件$B$表示“輕航機裝設緊急定位傳送器”。
2. 已知$P(A)=0.7$,$P(B|A)=0.6$,$P(\overline{A}) = 1 - 0.7 = 0.3$,$P(\overline{B}|\overline{A}) = 0.9$,則$P(B|\overline{A}) = 1 - 0.9 = 0.1$。
3. 由全機率公式$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.7×0.6 + 0.3×0.1 = 0.42 + 0.03 = 0.45$。
4. 再根據貝葉斯公式$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0.7×0.6}{0.45}=\frac{42}{45}=\frac{14}{15}$,即$\underline{○15 - 1}=14$,$\underline{○15 - 2}=15$,$\underline{○15 - 3}=0$,$\underline{○15 - 4}=0$。報錯
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111學測數學B試題-16

袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共 10 顆。今從袋中隨機抽取兩顆球（每顆球被抽中的機率相等），若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 $\frac{1}{15}$，皆為綠色的機率為 $\frac{2}{9}$，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為 ______（化為最簡分數）。

答案

設藍、綠、黃球數分別為 $a, b, c$，則
\[
a + b + c = 10
\]

1. 兩球皆藍的機率：
\[
\frac{C^a_2}{C^{10}_2} = \frac{a(a-1)/2}{45} = \frac{a(a-1)}{90} = \frac{1}{15}
\]
\[
a(a-1) = 6 \quad \Rightarrow \quad a^2 - a - 6 = 0
\]
\[
(a-3)(a+2) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \quad (\text{取正})
\]

2. 兩球皆綠的機率：
\[
\frac{C^b_2}{45} = \frac{b(b-1)/2}{45} = \frac{b(b-1)}{90} = \frac{2}{9}
\]
\[
b(b-1) = 20 \quad \Rightarrow \quad b^2 - b - 20 = 0
\]
\[
(b-5)(b+4) = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 5
\]

3. 因此
\[
c = 10 - a - b = 10 - 3 - 5 = 2
\]

4. 兩球同色的機率：
\[
P_{\text{同}} = \frac{C^3_2 + C^5_2 + C^2_2}{45}
= \frac{3 + 10 + 1}{45} = \frac{14}{45}
\]

5. 兩球異色的機率：
\[
P_{\text{異}} = 1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}
\]

**答案：** $\boxed{\frac{31}{45}}$ 報錯
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111學測數學B試題-17

有三女三男共六位在學校時和老師常有互動的同學,畢業後老師邀聚餐,餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快,照相時不想相鄰,而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側,則可能的排列方式共有$\underline{○17 – 1}\ \underline{○17 – 2}\ \underline{○17 – 3}$種。

答案

1. 老師站中間,先排老師,有$1$種排法。
2. 不考慮男女相鄰限制,對$6$個同學全排列有$A_{6}^6$種排法。
3. 三位男生全在老師同一側的排法有$2×A_{3}^3×A_{3}^3$種（$2$表示男生在左側或右側,$A_{3}^3$分別表示男生和女生的排列）。
4. 把有不愉快的男女看作一個整體（相鄰）的排法有$2×A_{5}^5$種（$2$表示男女相鄰的順序,$A_{5}^5$表示整體與其他人的排列）,其中包含了三位男生全在老師同一側且這對男女相鄰的情況,需減去。
5. 所以滿足條件的排法有$A_{6}^6 - 2×A_{3}^3×A_{3}^3 - 2×A_{5}^5 + 2×2×A_{4}^4 = 720 - 72 - 240 + 96 = 504$種,即$\underline{○17 - 1}=504$,$\underline{○17 - 2}=0$,$\underline{○17 - 3}=0$。報錯
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111學測數學B試題-18

18-20 題為題組瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角稱為該塔的傾斜度（ $0\le 90$），又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。

已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比,其傾斜度達到$18^{\circ}$,此傾斜度換算成弳（或弧度）為下列哪一個選項？(1) $\frac{\pi}{8}$；(2) $\frac{\pi}{10}$；(3) $\frac{\pi}{12}$；(4) $\frac{\pi}{16}$；(5) $\frac{\pi}{20}$

答案

1. 因為$180^{\circ}=\pi$弧度,設$18^{\circ}$對應的弧度為$x$。
2. 則由比例關系可得$\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{18^{\circ}}{x}$。
3. 解得$x=\frac{18\pi}{180}=\frac{\pi}{10}$。答案：(2) 報錯
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111學測數學B試題-19

中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔,它們的塔高分別為$48$、$19$與$57$（公尺）,偏移距離分別為$2.3$、$2.3$與$4$（公尺）,塔的傾斜度分別記為$\theta_{1}^{\circ}$、$\theta_{2}^{\circ}$與$\theta_{3}^{\circ}$。試比較$\theta_{1}$、$\theta_{2}$與$\theta_{3}$三數的大小關係。

答案

1. 根據傾斜度的定義,傾斜度$\theta$滿足$\sin\theta=\frac{偏移距離}{塔高}$。
2. 對於虎丘塔,$\sin\theta_{1}=\frac{2.3}{48}$；對於護珠塔,$\sin\theta_{2}=\frac{2.3}{19}$；對於比薩斜塔,$\sin\theta_{3}=\frac{4}{57}$。
3. 因為$\frac{2.3}{19}>\frac{4}{57}>\frac{2.3}{48}$（通分比較大小：$\frac{2.3×3}{19×3}=\frac{6.9}{57}$,$\frac{6.9}{57}>\frac{4}{57}$,$\frac{2.3}{48}=\frac{2.3×19}{48×19}=\frac{43.7}{912}$,$\frac{4}{57}=\frac{4×16}{57×16}=\frac{64}{912}$,$\frac{43.7}{912}<\frac{64}{912}$）,且$y = \sin\theta$在$0\leq\theta<90^{\circ}$單調遞增,所以$\theta_{2}>\theta_{3}>\theta_{1}$。報錯
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111學測數學B試題-20

假設有塔高相等的兩座鐵塔,它們的傾斜度$\alpha^{\circ}$,$\beta^{\circ}$分別滿足$\sin\alpha=\frac{1}{3}$與$\sin\beta=\frac{1}{6}$。已知兩座鐵塔的偏移距離相差$20$公尺,試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。

答案

1. 設塔高為$h$,根據$\sin\alpha=\frac{1}{3}$,可得一座鐵塔偏移距離$d_{1}=h\sin\alpha=\frac{1}{3}h$；根據$\sin\beta=\frac{1}{6}$,可得另一座鐵塔偏移距離$d_{2}=h\sin\beta=\frac{1}{6}h$。
2. 已知$\vert d_{1}-d_{2}\vert = 20$,即$\vert\frac{1}{3}h-\frac{1}{6}h\vert = 20$,$\frac{1}{6}h = 20$,解得$h = 120$。
3. 塔頂到地面距離,一座為$h\cos\alpha = h\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=120×\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}} = 120×\frac{2\sqrt{2}}{3}=80\sqrt{2}$,另一座為$h\cos\beta = h\sqrt{1 - \sin^{2}\beta}=120×\sqrt{1 - (\frac{1}{6})^{2}} = 120×\frac{\sqrt{35}}{6}=20\sqrt{35}$。
4. 它們塔頂到地面距離相差$\vert80\sqrt{2}-20\sqrt{35}\vert$,計算$80\sqrt{2}-20\sqrt{35}=20(4\sqrt{2}-\sqrt{35})$,$(4\sqrt{2})^{2}=32$,$(\sqrt{35})^{2}=35$,$4\sqrt{2}<\sqrt{35}$,所以相差$20(\sqrt{35}-4\sqrt{2})$公尺。報錯
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