112學測數學B

1. 分析選項(1)：
圓與兩坐標軸相切，圓心到x軸和y軸的距離相等且等於半徑，故 \( |a| = |b| = r \)。因 \( a > 0 \)，且圓與軸相切的位置可推得 \( b = a \)（若 \( b = -a \) 則圓在第四象限，與 \( a > c > 0 \) 及 \( P(c,c) \) 位置不符），故 \( a = b \)，選項(1)正確。

2. 分析選項(2)：
點 \( P(c,c) \) 滿足 \( x = y \)，即位於直線 \( x - y = 0 \) 上，而非 \( x + y = 0 \)，選項(2)錯誤。

3. 分析選項(3)：
圓的方程為 \( (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 \)。點 \( P(c,c) \) 到圓心 \( A(a,a) \) 的距離 \( \overline{PA} = \sqrt{(a - c)^2 + (a - c)^2} = \sqrt{2}(a - c) \)，已知 \( \overline{PA} = a + c \)，故 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，解得 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)。
點 \( P \) 到圓心的距離平方為 \( 2(a - c)^2 \)，圓半徑平方為 \( a^2 \)。
計算 \( 2(a - c)^2 - a^2 = 2a^2 - 4ac + 2c^2 - a^2 = a^2 - 4ac + 2c^2 \)，代入 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)：
\( (3 + 2\sqrt{2})^2c^2 - 4(3 + 2\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (17 + 12\sqrt{2})c^2 - (12 + 8\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (7 + 4\sqrt{2})c^2 > 0 \)，故點 \( P \) 在圓外，選項(3)錯誤。

4. 分析選項(4)：
由 \( a = b \)，且 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，則 \( b - c = a - c \)，\( \frac{a + c}{b - c} = \frac{a + c}{a - c} = \frac{\sqrt{2}(a - c)}{a - c} = \sqrt{2} \)，選項(4)正確。

5. 分析選項(5)：
由 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，移項得 \( a(\sqrt{2} - 1) = c(\sqrt{2} + 1) \)，\( \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} \)，而非 \( 2 + 3\sqrt{2} \)，選項(5)錯誤。

综上，正確選項為(1)(4)。 報錯
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設地球儀半徑為 \(R\)。(1) 赤道長度為 \(2\pi R\),一條經線長度為 \(\pi R\),兩條經線長度和為 \(2\pi R\),赤道長度等於東經 \(0^{\circ}\) 和 \(180^{\circ}\) 兩條經線長度總和,(1) 正確；(2) 北緯 \(45^{\circ}\) 線所在圓半徑為 \(R\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}R\),其長度為 \(2\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}R=\sqrt{2}\pi R\),赤道長度為 \(2\pi R\),北緯 \(45^{\circ}\) 線長度是赤道長度的 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\),(2) 錯誤；(3) \(A\) 沿赤道移動到 \(B\) 的最短路程對應的圓心角為 \(60^{\circ}\),弧長為 \(\frac{1}{6}\times2\pi R=\frac{\pi R}{3}\),\(D\) 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線移動到北極點路徑長對應的圓心角為 \(60^{\circ}\),弧長為 \(\frac{1}{6}\times2\pi R=\frac{\pi R}{3}\),兩者相等,(3) 正確；(4) \(D\) 沿北緯 \(30^{\circ}\) 線移動到 \(E\) 的路徑長對應的圓心角為 \(180^{\circ}\),所在圓半徑為 \(R\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}R\),弧長為 \(\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}R\),\(D\) 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線到北極點再沿東經 \(180^{\circ}\) 經線到 \(E\) 的路徑長總和為 \(2\times\frac{1}{6}\times2\pi R=\frac{2\pi R}{3}\),兩者不相等,(4) 錯誤；(5) \(A\)、\(C\) 經度差為 \(90^{\circ}\),通過北極點與 \(A\) 點的直線與通過北極點與 \(C\) 點的直線互相垂直,(5) 正確。答案：(1)(3)(5) 報錯
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1. 對兩式取常用對數（以10為底）：
- 由 \( ab^2 = 10^5 \)，得 \( \log a + 2\log b = 5 \)  （記為式1）
- 由 \( a^2b = 10^3 \)，得 \( 2\log a + \log b = 3 \)  （記為式2）

2. 解聯立方程：
- 式1×2：\( 2\log a + 4\log b = 10 \)
- 減去式2：\( (2\log a + 4\log b) - (2\log a + \log b) = 10 - 3 \)
- 化簡得：\( 3\log b = 7 \implies \log b = \frac{7}{3} \)

故 \( 13-1 = 7 \)，\( 13-2 = 3 \)，答案為 \( \frac{7}{3} \)。 報錯
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設等差數列公差為 \(d\),\(b = a + d\),\(c = a + 2d\)。因為 \(1\leqslant a\lt b\lt c\leqslant20\),\(c=a + 2d\leqslant20\),\(a\geqslant1\),\(d\geqslant1\)。當 \(d = 1\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 2\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(18\),有 \(18\) 種；當 \(d = 2\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 4\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(16\),有 \(16\) 種；\(\cdots\)；當 \(d = 9\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 18\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(2\),有 \(2\) 種。總取法為 \(2 + 4+\cdots+18=\frac{9\times(2 + 18)}{2}=90\) 種。即 \(\underline{○14 - 1}=90\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。 報錯
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長度為\(5\)的序列中,含\(00\)的情況分類討論：
- 當\(00\)在開頭,如\(00xxx\),後三位每位有\(3\)種選擇,共\(3×3×3 = 27\)種,這里\(00\)貢獻\(1\)次。
- 當\(00\)在第二位和第三位,如\(x00xx\),第一位和後兩位每位有\(3\)種選擇,共\(3×3×3 = 27\)種,這里\(00\)貢獻\(1\)次。
- 當\(00\)在第三位和第四位,如\(xx00x\),同理有\(27\)種,\(00\)貢獻\(1\)次。
- 當\(00\)在結尾,如\(xxx00\),前三位每位有\(3\)種選擇,共\(3×3×3 = 27\)種,這里\(00\)貢獻\(1\)次。
- 對於\(000xx\),\(x000x\),\(xx000\)這三種情況,\(00\)分別多貢獻\(1\)次,共\(3\)次。
所以\(a(5)=27×4 + 3 = 111\),即\(\underline{○17 - 1}=111\),\(\underline{○17 - 2}=0\),\(\underline{○17 - 3}=0\)。 報錯
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1. 求\(P\)點坐標：
聯立直線\(L:x + 3y = 0\)與\(M:2x - 3y + 9 = 0\)的方程,將\(x = - 3y\)代入\(2x - 3y + 9 = 0\),得\(-6y - 3y + 9 = 0\),解得\(y = 1\),則\(x = - 3\),所以\(P(-3,1)\)。
2. 求\(B_3\)點坐標：
設\(A_3(x_0,y_0)\),因為\(A_3\)在\(L\)上,所以\(x_0 + 3y_0 = 0\),即\(x_0 = - 3y_0\)。\(A_1B_1 = 3\),\(A_3B_3 = 6\)。設\(B_3(x_1,y_1)\),\(B_3\)在\(M\)上,\(2x_1 - 3y_1 + 9 = 0\)。由兩點間距離公式\(\sqrt{(x_1 - x_0)^2+(y_1 - y_0)^2}=6\),將\(x_0 = - 3y_0\)代入並結合\(2x_1 - 3y_1 + 9 = 0\),解方程組得\(x_1 = 3\),\(y_1 = 5\),所以\(B_3(3,5)\)。綜上,\(P(-3,1)\),\(B_3(3,5)\)。 報錯
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利用直線$L,M與比例算出\\A_3(3,-1),A_2(1,-\frac{1}{3}),B_2(1,\frac{11}{3})\\由分點可得Q(1,\frac{1\times\frac{11}{3}+2\times\frac{-1}{3}}{1+2})=(1,1)$ 報錯
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