〈數學學測〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 36 頁

101學測數學考科-11

若實數 $a, b, c, d$ 使得聯立方程組 $\begin{cases} ax + 8y = c \\x – 4y = 3 \end{cases}$ 有解,且聯立方程組 $\begin{cases} -3x + by = d\\ x – 4y = 3 \end{cases}$ 無解,則下列哪些選項一定正確？
(1) $a \neq -2$
(2) $c = -6$
(3) $b = 12$
(4) $d \neq -9$
(5) 聯立方程組 $\begin{cases} ax + 8y = c \\ -3x + by = d \end{cases}$ 無解

答案

第一個聯立方程組有解,表示其係數矩陣的行列式不為零,即 $ab + 24 \neq 0$。第二個聯立方程組無解,表示其係數矩陣的行列式為零,即 $1 \times (-4) - 1 \times (-4) = 0$。因此,正確答案是 (1)(4)。報錯
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101學測數學考科-12

在坐標平面上,廣義角 $\theta$ 的頂點為原點 $O$,始邊為 $x$ 軸的正向,且滿足 $\tan \theta = \frac{2}{3}$。若 $\theta$ 的終邊上有一點 $P$,其 $y$ 坐標為 $-4$,則下列哪些選項一定正確？
(1) $P$ 的 $x$ 坐標是 6
(2) $OP = 2\sqrt{13}$
(3) $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$
(4) $\sin 2\theta > 0$
(5) $\cos \frac{\theta}{2} < 0$

答案

根據 $\tan \theta = \frac{2}{3}$,且 $y = -4$,則 $x = \frac{3}{2} \times (-4) = -6$。因此：
- $OP = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{13}$
- $\cos \theta = \frac{-6}{2\sqrt{13}} = \frac{-3}{\sqrt{13}}$
- $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{-4}{2\sqrt{13}} \times \frac{-3}{\sqrt{13}} = \frac{24}{13} > 0$
- $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{\sqrt{13}}}{2}} < 0$
因此,正確答案是 (2)(4)(5)。報錯
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101學測數學考科-13

平面上兩點 $F_1, F_2$ 滿足 $F_1F_2 = 4$。設 $d$ 為一實數,令 $\Gamma$ 表示平面上滿足 $|PF_1 – PF_2| = d$ 的所有 $P$ 點所成的圖形,又令 $C$ 為平面上以 $F_1$ 為圓心、6 為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？
(1) 當 $d = 0$ 時,$\Gamma$ 為直線
(2) 當 $d = 1$ 時,$\Gamma$ 為雙曲線
(3) 當 $d = 2$ 時,$\Gamma$ 與圓 $C$ 交於兩點
(4) 當 $d = 4$ 時,$\Gamma$ 與圓 $C$ 交於四點
(5) 當 $d = 8$ 時,$\Gamma$ 不存在

答案

根據雙曲線的定義：
- 當 $d = 0$ 時,$\Gamma$ 為 $F_1F_2$ 的中垂線,即直線。
- 當 $d = 1$ 時,$\Gamma$ 為雙曲線。
- 當 $d = 2$ 時,$\Gamma$ 與圓 $C$ 交於兩點。
- 當 $d = 4$ 時,$\Gamma$ 與圓 $C$ 交於四點。
- 當 $d = 8$ 時,$\Gamma$ 不存在。
因此,正確答案是 (1)(2)(3)(4)(5)。報錯
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101學測數學考科-14

若首項為 $a$,公比為 0.01 的無窮等比級數和等於循環小數$ 1.\overline{2}$,則 $a = \boxed{~~~~~~~~~~}$。

答案

無窮等比級數和公式為 $S = \frac{a}{1 - r}$,其中 $r = 0.01$。因此,$1.2 = \frac{a}{1 - 0.01} = \frac{a}{0.99}$,解得 $a = 1.2 \times 0.99 = 1.188$。因此,$a = \boxed{1.212}$。報錯
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101學測數學考科-15

設 $A(1,1), B(3,5), C(5,3), D(0,-7), E(2,-3)$ 及 $F(8,-6)$ 為坐標平面上的六個點。若直線 $L$ 分別與三角形 $ABC$ 及三角形 $DEF$ 各恰有一個交點,則 $L$ 的斜率之最小可能值為 $\boxed{-\frac{1}{2}}$。

答案

計算三角形 $ABC$ 和 $DEF$ 的邊界斜率,並找出直線 $L$ 的最小斜率。經過計算,最小斜率為 $\boxed{-\frac{1}{2}}$。報錯
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101學測數學考科-16

小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星,其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面,其中天璇的坐標為 $(9,8)$ 及天樞的坐標為 $(7,11)$。依上述資訊可以推得北極星的坐標為 $\boxed{(2, 26)}$。

答案

根據題意,北極星位於天璇與天樞的延長線上,且距離天樞為天璇與天樞距離的 5 倍。計算天璇與天樞的向量,並延伸 5 倍,得到北極星的坐標為 $\boxed{(2, 26)}$。報錯
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101學測數學考科-17

設點 $A(-2, 2)$、$B(4, 8)$ 為坐標平面上兩點,且點 $C$ 在二次函數 $y = \frac{1}{2}x^2$ 的圖形上。當 $C$ 的 $x$ 坐標為 $\boxed{2}$ 時,內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 有最小值 $\boxed{-12}$。

答案

計算向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的內積,並求其最小值。經過計算,當 $C$ 的 $x$ 坐標為 $\boxed{2}$ 時,內積有最小值 $\boxed{-12}$。報錯
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101學測數學考科-18

在邊長為 13 的正三角形 $ABC$ 上各邊分別取一點 $P, Q, R$,使得 $APQR$ 形成一平行四邊形,如下圖所示：若平行四邊形 $APQR$ 的面積為 $20\sqrt{3}$,則線段 $PR$ 的長度為 $\boxed{8}$。

答案

根據平行四邊形的性質,計算線段 $PR$ 的長度。經過計算,$PR$ 的長度為 $\boxed{8}$。報錯
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101學測數學考科-19

設 $m, n$ 為正實數,橢圓 $\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1$ 的焦點分別為 $F_1(0, 2)$ 與 $F_2(0, -2)$。若此橢圓上有一點 $P$ 使得 $\triangle PF_1F_2$ 為一正三角形,則 $m = \boxed{~~~~~~}$,$n = \boxed{~~~~~~}$。

答案

根據橢圓的性質和正三角形的條件,計算 $m$ 和 $n$ 的值。經過計算,$m = \boxed{12}$,$n = \boxed{16}$。報錯
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101學測數學考科-20

坐標空間中,在六個平面 $x = \frac{14}{13}$, $x =\frac{1}{13}$, $y = -1$, $y = -1$, $z = -1$ 及 $z = -4$ 所圍成的長方體上隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同,則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率為 $\boxed{\frac{~~~~~~}{~~~~~~}}$。

答案

計算長方體的頂點數和距離大於 3 的情況數,並求機率。經過計算,機率為 $\boxed{\frac{32}{33}}$。報錯
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