學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求,才有資格參選模範生。
一、國文成績或英文成績 70 分(含)以上；
二、數學成績及格。
已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的？
(1) 小文的英文成績未達 70 分
(2) 小文的數學成績不及格
(3) 小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格
(4) 小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格
(5) 小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格
答案
數學學測
102學測數學考科-02
令 \(a = 2.6^{10} – 2.6^9\),\(b = 2.6^{11} – 2.6^{10}\),\(c = \frac{2.6^{11} – 2.6^9}{2}\)。請選出正確的大小關係。
(1) \(a \gt b \gt c\)
(2) \(a \gt c \gt b\)
(3) \(b \gt a \gt c\)
(4) \(b \gt c \gt a\)
(5) \(c \gt b \gt a\)
答案
102學測數學考科-03
袋子裡有 3 顆白球,2 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 1 顆球,抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等,請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下,丙抽到白球之條件機率為何？
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{5}{12}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{3}{5}\)
(5) \(\frac{2}{3}\)
答案
甲和乙抽到相同顏色球的情況有兩種：
1. 甲和乙都抽到白球：機率為 \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\)。
2. 甲和乙都抽到黑球：機率為 \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}\)。
總機率為 \(\frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\)。
在甲和乙抽到相同顏色球的條件下,丙抽到白球的機率為 \(\frac{6}{20} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{20} \times \frac{3}{3} = \frac{6}{60} + \frac{6}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\)。因此,正確答案是 (3) \(\frac{1}{2}\)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
102學測數學考科-04
102學測數學考科-05
將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋,且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。
(1) 55
(2) 66
(3) 132
(4) 198
(5) 253
答案
102學測數學考科-06
102學測數學考科-07
設 \(n\) 為正整數,符號 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\) 代表矩陣 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 自乘 \(n\) 次。令 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\),請選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 1\)
(2) \(a_1, a_2, a_3\) 為等比數列
(3) \(d_1, d_2, d_3\) 為等比數列
(4) \(b_1, b_2, b_3\) 為等差數列
(5) \(c_1, c_2, c_3\) 為等差數列
答案
計算矩陣的冪次：
- \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\)
- \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\)
因此：
- \(a_2 = 1\),(1) 正確。
- \(a_1, a_2, a_3\) 為 1, 1, 1,不是等比數列,(2) 錯誤。
- \(d_1, d_2, d_3\) 為 2, 4, 8,是等比數列,(3) 正確。
- \(b_1, b_2, b_3\) 為 1, 3, 7,不是等差數列,(4) 錯誤。
- \(c_1, c_2, c_3\) 為 0, 0, 0,是等差數列,(5) 正確。
正確答案是 (1)(3)(5)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
102學測數學考科-08
設 \(a > b > 0\),關於下列不等式,請選出正確的選項。
(1) \(a – 7 > b – 9\)
(2) \(\frac{a}{b} > \frac{9}{7}\)
(3) \(\log_{10} a > \log_{10} b\)
(4) \(\log_a b > \log_b a\)
(5) \(\log_a b \geq \log_b a\)
答案
102學測數學考科-09
設 \(a < b < c\)。已知實係數多項式函數 \(y = f(x)\) 的圖形為一開口向上的拋物線,且與 \(x\) 軸交於 \((a, 0)\)、\((b, 0)\) 兩點；實係數多項式函數 \(y = g(x)\) 的圖形亦為一開口向上的拋物線,且跟 \(x\) 軸相交於 \((b, 0)\)、\((c, 0)\) 兩點。請選出 \(y = f(x) + g(x)\) 的圖形可能的選項。
(1) 水平直線
(2) 和 \(x\) 軸僅交於一點的直線
(3) 和 \(x\) 軸無交點的拋物線
(4) 和 \(x\) 軸僅交於一點的拋物線
(5) 和 \(x\) 軸交於兩點的拋物線
答案
102學測數學考科-10
坐標平面上考慮兩點 \(Q_1(1, 0)\)、\(Q_2(-1, 0)\)。在下列各方程式的圖形中,請選出其上至少有一點 \(P\) 滿足內積 \(\overrightarrow{PQ_1} \cdot \overrightarrow{PQ_2} < 0\) 的選項。
(1) \(y = \frac{1}{2}\)
(2) \(y = x^2 + 1\)
(3) \(-x^2 + 2y^2 = 1\)
(4) \(4x^2 + y^2 = 1\)
(5) \(\frac{x^2}{2} – \frac{y^2}{2} = 1\)
答案
