設 \( a_n \) 為一等差數列。已知 \( a_2 + a_4 + a_6 = 186 \)，\( a_3 + a_7 = 110 \)。令 \( s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \)。則極限 \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{s_n}{n^2} = \) __________。（請化為最簡分數）
答案
設首項 \(a_1\)，公差 \(d\)。
\( a_2+a_4+a_6 = (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d) = 3a_1+9d = 186 \) ⇒ \( a_1+3d=62 \)。
\( a_3+a_7 = (a_1+2d)+(a_1+6d) = 2a_1+8d = 110 \) ⇒ \( a_1+4d=55 \)。
解聯立：相減得 \( d = -7 \)，代入得 \( a_1 = 55-4(-7)=55+28=83 \)。
\( s_n = \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) = \frac{n}{2}(166 + (n-1)(-7)) = \frac{n}{2}(173 - 7n) \)。
\( \frac{s_n}{n^2} = \frac{173 - 7n}{2n} \)，當 \( n \to \infty \) 時趨近於 \( -\frac{7}{2} \)。
答案為 \( -\frac{7}{2} \)。 報錯
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