〈106指考數乙〉彙整頁面 - 第 2 頁，總計 2 頁

106指考數學乙試題-1)

某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1)試寫出描述上述現象的轉移矩陣。

答案

設狀態1:甲券，狀態2:乙券。
轉移矩陣 \( P = \begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix} \)。
答案為 \( \begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix} \)。報錯
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設穩定狀態向量 \( [x \quad y] \) 滿足 \( x+y=1 \) 且 \( [x \quad y]P = [x \quad y] \)。
得 \( 0.85x + 0.35y = x \) ⇒ \( -0.15x + 0.35y = 0 \) ⇒ \( 0.15x = 0.35y \) ⇒ \( 3x = 7y \) ⇒ \( x = \frac{7}{10} \)，\( y = \frac{3}{10} \)。
答案為甲券 70%，乙券 30%。報錯
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106指考數學乙試題-1)

袋中有紅色代幣4枚，綠色代幣9枚，以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、綠色、藍色代幣分別可兌換50元、20元及10元。現從袋中取出代幣，每一枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數X代表取出1枚代幣可兌換的金額（單位：元）；隨機變數Y代表一次取出2枚代幣可兌換的金額（單位：元）。已知X的期望值為20。
(1)試問藍色代幣有多少枚？

答案

設藍色代幣 \( z \) 枚。
總數 \( 4+9+z = 13+z \)。
\( E[X] = \frac{4\times 50 + 9\times 20 + z\times 10}{13+z} = 20 \)。
計算：\( 200 + 180 + 10z = 20(13+z) \) ⇒ \( 380 + 10z = 260 + 20z \) ⇒ \( 120 = 10z \) ⇒ \( z = 12 \)。
答案為 12 枚。報錯
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106指考數學乙試題-2)

(2)試問 \( Y \leq 50 \) 的機率 \( P(Y \leq 50) \) 為何？

答案

總代幣數 \( 13+12=25 \) 枚。
取2枚的組合數 \( C(25,2) = 300 \)。
\( Y \leq 50 \) 表示兩枚代幣金額和 ≤ 50。
可能情況：
- 兩枚都是10元（藍）：\( C(12,2)=66 \)
- 一枚10元（藍）一枚20元（綠）：\( 12\times 9 = 108 \)
- 兩枚都是20元（綠）：\( C(9,2)=36 \)
- 一枚10元（藍）一枚50元（紅）：\( 12\times 4 = 48 \)（和=60>50，不算）
- 其他組合都會超過50。
所以符合的組合數 = 66+108+36 = 210。
機率 \( = \frac{210}{300} = \frac{7}{10} \)。
答案為 \( \frac{7}{10} \)。報錯
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