110指考數乙
110指考數學乙試題-02
已知實係數二次多項式函數 \( f(x) \) 滿足 \( f(-1)=k \)，\( f(1)=9k \)，\( f(3)=-15k \)，其中 \( k\gt0 \)。
設函數 \( y=f(x) \) 圖形頂點的x坐標為 \( a \)，試選出正確的選項。
(1) \( a\leq -1 \)
(2) \(-1\lt a\lt 1\)
(3) \( a=1 \)
(4) \( 1\lt a\lt 3 \)
(5) \( 3\leq a \)
答案
110指考數學乙試題-03
某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為1至6的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金100元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張牌，且其號碼之和為奇數，則可得獎金50元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
(1) 50
(2) 70
(3) 72
(4) 80
(5) 100
答案
第一階段：從6張取2張，和為奇數的機率為 \( \frac{C_3^1 C_3^1}{C_6^2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \)，期望值 \( 100 \times \frac{3}{5} = 60 \)。第二階段：和為偶數機率 \( \frac{2}{5} \)，此時從剩下4張取2張，和為奇數機率為 \( \frac{C_2^1 C_2^1}{C_4^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)，期望值 \( 50 \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)。總期望值 \( 60 + 6.67 = 66.67 \)，最接近選項(2) 70？重新計算：第二階段期望值 \( \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \times 50 = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \)，總和 \( 60 + 13.33 = 73.33 \)，最接近(3) 72。答案：(3) 報錯
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110指考數學乙試題-04
設 \( a = \log_2 8, b = \log_3 1, c = \log_{0.5} 8 \)，試選出正確的選項。
(1) \( b = 0 \)
(2) \( a + b + c > 0 \)
(3) \( a > b > c \)
(4) \( a^2 > b^2 > c^2 \)
(5) \( 2^a > 3^b > (\frac{1}{2})^c \)
答案
計算：\( a = \log_2 8 = 3 \)，\( b = \log_3 1 = 0 \)，\( c = \log_{0.5} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \)。
(1) 正確，\( b=0 \)
(2) 錯誤，\( a+b+c=3+0-3=0 \)
(3) 正確，\( 3 > 0 > -3 \)
(4) 正確，\( 9 > 0 > 9 \)？\( c^2=9 \)，\( a^2=9 \)，\( b^2=0 \)，故 \( a^2 = c^2 > b^2 \)，選項錯誤
(5) 正確，\( 2^a=8 \)，\( 3^b=1 \)，\( (\frac{1}{2})^c=2^{-c}=2^3=8 \)，故 \( 2^a = (\frac{1}{2})^c > 3^b \)，選項錯誤
答案：(1)(3) 報錯
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110指考數學乙試題-05
某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和 \( a, b, c, d, e \) 五個角色公仔，共八個玩具，分成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具，其分裝的原則如下：
（一）甲和 \( a \) 必須裝在同一袋。
（二）每袋至少裝有一個積木模型。
（三）\( d \) 和 \( e \) 必須裝在不同袋。
根據以上敘述，試選出正確的選項。
(1) 每袋至少裝有兩個角色公仔
(2) 乙和丙必裝在不同袋
(3) 如果乙和 \( d \) 裝在同一袋，則丙和 \( e \) 必裝在同一袋
(4) 如果乙和 \( d \) 裝在不同袋，則 \( b \) 和 \( c \) 必裝在不同袋
(5) 如果 \( b \) 和 \( c \) 裝在不同袋，則乙和丙必裝在同一袋
答案
設兩袋為X,Y。由(1)甲和a同袋，設在X袋。由(2)每袋至少1積木，X已有甲，Y需至少1個積木（乙或丙）。由(3)d,e不同袋。
(1) 錯誤，可能一袋有3個角色公仔，另一袋2個
(2) 錯誤，乙丙可在同袋（Y袋）
(3) 正確，若乙和d同袋，設在Y袋，則Y袋有乙,d，還需2個玩具。由(2)Y袋需有積木，故丙在Y袋。由(3)e需在X袋，故丙和e不同袋？題目說丙和e必裝在同一袋？檢查：乙,d在Y袋，則e必在X袋，丙可在Y袋（與e不同袋）或X袋（與e同袋）。但Y袋需有積木，若丙在Y袋，則Y袋有乙,丙,d,+1角色；若丙在X袋，則Y袋只有乙,d,+2角色，無積木，違反(2)。故丙必在Y袋，與e不同袋，選項錯誤
(4) 乙和d不同袋：設d在X袋（與甲,a同袋），則乙可在Y袋。此時b,c可同袋或不同袋，不一定
(5) b,c在不同袋，則乙丙必在同袋？不一定，乙丙可分裝兩袋
重新分析(3)：乙,d同袋設為Y袋，則Y袋需有積木，故丙在Y袋（與d同袋），e在X袋，故丙和e不同袋，選項說"必裝在同一袋"錯誤
答案：經檢驗無正確選項？但多選題至少1正確。檢查(2)乙丙必裝在不同袋？不一定，可同袋。故本題無正確選項？但依考試設計應有正確者。可能(3)在特定條件下成立？暫定無解 報錯
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110指考數學乙試題-06
已知實數數列 \( \langle a_n \rangle \) 滿足 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = \frac{2n+1}{2n-1}a_n \)，\( n \)為正整數。試選出正確的選項。
(1) \( a_2 = 3 \)
(2) \( a_4 = 9 \)
(3) \( \langle a_n \rangle \) 為等比數列
(4) \( \sum_{n=1}^{20} a_n = 400 \)
(5) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 2 \)
答案
計算：\( a_2 = \frac{3}{1} \times 1 = 3 \)，\( a_3 = \frac{5}{3} \times 3 = 5 \)，\( a_4 = \frac{7}{5} \times 5 = 7 \)，\( a_5 = \frac{9}{7} \times 7 = 9 \)
(1) 正確，\( a_2=3 \)
(2) 錯誤，\( a_4=7 \)
(3) 錯誤，公比非常數
(4) \( a_n = 2n-1 \)，求和 \( \sum_{n=1}^{20} (2n-1) = 2\sum n - 20 = 2\times\frac{20\times21}{2}-20=420-20=400 \)，正確
(5) \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2 \)，正確
答案：(1)(4)(5) 報錯
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110指考數學乙試題-07
已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 \(\frac{1}{2}\)，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為 \(\frac{1}{2}\)的事件。
(1) 連續射2次飛鏢，恰射中1次
(2) 連續射4次飛鏢，恰射中2次
(3) 連續射4次飛鏢，射中的總次數為奇數
(4) 連續射6次飛鏢，在第1次沒有射中的條件下，第2次有射中
(5) 連續射6次飛鏢，在前2次恰射中1次的條件下，後4次恰射中2次
答案
(1) \( C_2^1 (\frac{1}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)，正確
(2) \( C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{8} \)，錯誤
(3) 奇數次：1次或3次，機率 \( C_4^1+C_4^3 = 4+4=8 \)種，\( 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2} \)，正確
(4) 條件機率，第2次射中機率 \( \frac{1}{2} \)（獨立事件），正確
(5) 前2次恰中1次條件下，後4次恰中2次機率 = \( C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{8} \)，錯誤
答案：(1)(3)(4) 報錯
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110指考數學乙試題-_A
數線上有原點O及三點 \( A(-2) \)、\( B(10) \)、\( C(x) \)，其中x為實數。
已知線段 \( BC \)、\( AC \)、\( OB \) 長度大小關係為 \( BC < AC < OB \)，
則x的最大範圍為 \( \underline{\qquad} < x < \underline{\qquad} \)
110指考數學乙試題-_B
設矩陣 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \)，\( B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \)，其中 \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \) 為矩陣 \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 的反方陣。若 \( A + B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，則 \( a + b + c + d = \underline{\qquad} \)
答案
設 \( P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)，則 \( P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)。
\( A = P \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} P^{-1} \)，\( B = P \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} P^{-1} \)。
\( A+B = P\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)P^{-1} = P \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} P^{-1} = 7PP^{-1} = 7I \)。
故 \( A+B = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \)，\( a+b+c+d=7+0+0+7=14 \)。答案：14 報錯
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110指考數學乙試題-_C
已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為 \(\frac{1}{3}\)，出現反面的機率為 \(\frac{2}{3}\)。今在坐標平面上有一顆棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：
（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量 \((-1,2)\) 的方向與長度，前進至下一個位置；
（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量 \((1,0)\) 的方向與長度，前進至下一個位置。
例如：棋子目前位置在坐標 \((2,4)\)，若擲出反面，則棋子前進至坐標 \((3,4)\)。
假設棋子以原點 \((0,0)\) 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板6次，且每次投擲均互相獨立，則經過6次移動後，棋子停在坐標 \((\underline{\qquad}, \underline{\qquad})\) 的機率最大。
答案
設正面次數為k，反面次數為6-k。最終位置：\( x = -k + (6-k) = 6-2k \)，\( y = 2k \)。
機率 \( P(k) = C_6^k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{6-k} \)。比較相鄰機率：
\( \frac{P(k)}{P(k-1)} = \frac{C_6^k}{C_6^{k-1}} \cdot \frac{1/3}{2/3} = \frac{6-k+1}{k} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7-k}{2k} \)。
當 \( \frac{7-k}{2k} > 1 \) 時遞增，即 \( 7-k > 2k \)，\( 7 > 3k \)，\( k < 2.33 \)。故k=0,1,2遞增，k=2後遞減。最大機率在k=2。
此時坐標 \( x=6-4=2 \)，\( y=4 \)。答案：(2,4) 報錯
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