一、坐標平面上有兩點 \(A(-3,4)\)，\(B(3,2)\) 及一條直線 \(L\)。已知 \(A、B\) 兩點在直線 \(L\) 的兩側且 \(\overrightarrow{n} = (4,-3)\) 是直線 \(L\) 的法向量。設 \(A\) 點到直線 \(L\) 的距離為 \(B\) 點到直線 \(L\) 的距離的5倍。根據上述，試回答下列問題。
(1) 試求向量 \(\overrightarrow{AB}\) 與向量 \(\overrightarrow{n}\) 的內積。
一、(2) 試求直線 \(L\) 的方程式。
設直線 \(L: 4x-3y+k=0\)（法向量為(4,-3)）
A到L距離：\(\frac{|4(-3)-3(4)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-12-12+k|}{5} = \frac{|k-24|}{5}\)
B到L距離：\(\frac{|4(3)-3(2)+k|}{5} = \frac{|12-6+k|}{5} = \frac{|k+6|}{5}\)
依題意：\(\frac{|k-24|}{5} = 5 \times \frac{|k+6|}{5}\) ⇒ \(|k-24| = 5|k+6|\)
平方：\((k-24)^2 = 25(k+6)^2\)
\(k^2-48k+576 = 25k^2+300k+900\)
\(24k^2+348k+324=0\) ⇒ \(2k^2+29k+27=0\)
\((2k+27)(k+1)=0\) ⇒ \(k=-13.5\) 或 \(k=-1\)
但A,B在L兩側，需滿足\((4(-3)-3(4)+k)(4(3)-3(2)+k) \lt 0\)
檢驗：
k=-13.5：\((-12-12-13.5)(12-6-13.5)=(-37.5)(-7.5) \gt 0\)（同側）
k=-1：\((-12-12-1)(12-6-1)=(-25)(5) \lt 0\)（異側）
故 \(k=-1\)，直線 \(L: 4x-3y-1=0\)
答案：\(4x-3y-1=0\) 報錯
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一、(3) 設 \(P\) 點在直線 \(L\) 上且 \(\overline{PA} = \overline{PB}\)，試求 \(P\) 點坐標。
\(\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PB}\) 表示 \(P\) 為 \(AB\) 的中垂線與 \(L\) 的交點
AB中點 \(M=(\frac{-3+3}{2},\frac{4+2}{2})=(0,3)\)
AB向量 \(\overrightarrow{AB}=(6,-2)\)，中垂線法向量為(6,-2)
中垂線方程：\(6(x-0)-2(y-3)=0\) ⇒ \(6x-2y+6=0\) ⇒ \(3x-y+3=0\)
與 \(L: 4x-3y-1=0\) 聯立：
由 \(3x-y+3=0\) 得 \(y=3x+3\)，代入L：\(4x-3(3x+3)-1=0\) ⇒ \(4x-9x-9-1=0\) ⇒ \(-5x-10=0\) ⇒ \(x=-2\)
\(y=3(-2)+3=-3\)
故 \(P(-2,-3)\)
答案：\((-2,-3)\) 報錯
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二、已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）：
| 電池成本 | 馬達成本 | 其他成本 | |
| 甲型 | 56 | 26 | 48 |
| 乙型 | 40 | 20 | 56 |
今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的x倍」、「馬達成本的y倍」與「其他成本的 \(\frac{x+y}{2}\) 倍」之總和，即
售價=電池成本 \(\times x+\) 馬達成本 \(\times y+\) 其他成本 \(\times \frac{x+y}{2}\)
其中倍數 \(x,y\) 需滿足「\(1\leq x\leq 2\)，\(1\leq y\leq 2\)」，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過200萬元。
該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
(1) 試寫出甲、乙兩型電動車的售價（以\(x,y\)的式子來表示），並說明「甲型電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。
甲型售價：\(56x + 26y + 48\times\frac{x+y}{2} = 56x + 26y + 24x + 24y = 80x + 50y\)
乙型售價：\(40x + 20y + 56\times\frac{x+y}{2} = 40x + 20y + 28x + 28y = 68x + 48y\)
售價差距：\((80x+50y) - (68x+48y) = 12x + 2y\)
由於 \(x\geq 1\)，\(y\geq 1\)，故 \(12x+2y \geq 12+2=14 > 0\)
因此甲型售價必定高於乙型售價
答案：甲型 \(80x+50y\)，乙型 \(68x+48y\)，差距恆正 報錯
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二、(2) 試在坐標平面上，畫出滿足題幹條件 \((x,y)\) 的可行解區域，並以斜線標示該區域。
二、(3) 試求當倍數 \(x,y\) 分別為多少時，甲、乙兩型電動車的售價差距最大？此時甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元？
目標函數：差距 \(f(x,y) = 12x + 2y\)
在可行區域頂點求最大值：
頂點：
1. \((1,1)\)：\(f=12+2=14\)
2. \((1,2)\)：\(f=12+4=16\)
3. \((2,1)\)：\(f=24+2=26\)
4. \((2,2)\)：檢查是否在可行域：\(8\times2+5\times2=26>20\)（不可行）
5. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(x=2\) 交點：\(16+5y=20\) ⇒ \(y=0.8\)（不可行，y<1）
6. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(y=2\) 交點：\(8x+10=20\) ⇒ \(x=1.25\) ⇒ \((1.25,2)\)：\(f=15+4=19\)
7. 交點：\(17x+12y=50\) 與 \(x=2\) 交點：\(34+12y=50\) ⇒ \(y=\frac{4}{3}\approx 1.33\) ⇒ \((2,1.33)\)：\(f=24+2.67=26.67\)
8. 交點：\(17x+12y=50\) 與 \(y=2\) 交點：\(17x+24=50\) ⇒ \(x=\frac{26}{17}\approx 1.53\) ⇒ \((1.53,2)\)：\(f=18.36+4=22.36\)
9. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(17x+12y=50\) 聯立：
\(96x+60y=240\)，\(85x+60y=250\)，相減得 \(11x=-10\) ⇒ \(x<0\)（不可行）
最大值在 \((2,1.33)\)，但需檢查是否在可行域：
\(8\times2+5\times1.33=16+6.65=22.65>20\)（不可行）
重新檢驗：在 \(x=2\) 時，需滿足 \(8\times2+5y\leq 20\) ⇒ \(16+5y\leq 20\) ⇒ \(y\leq 0.8\)，但 \(y\geq 1\)，矛盾
故 \(x=2\) 時無可行解
最大值應在邊界 \(8x+5y=20\) 上，且 \(x=2\) 時 \(y=0.8\) 不可行，故最大值在 \(y=2\) 時 \(x=1.25\)，\(f=19\)
或在 \(17x+12y=50\) 上，當 \(x\) 最大時 \(f\) 最大，但需滿足 \(8x+5y\leq 20\)
經計算，最大值在 \((1.25,2)\)，\(f=19\)
答案：\(x=1.25\)，\(y=2\)，差距19萬元 報錯
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