已知有兩個公正的六面骰子A、B：
A上的點數分別為1、2、5、6、7、9，
B上的點數分別為1、3、4、5、6、9，
記 錄 A、B 點 數 大 小 關 係 如 下 表 所 示。例 如：A 與 B 的 點 數 分 別 為 5 與 3，記 錄為 「 A 大 」； A 與 B 點數均為 5， 記 錄為「和局」。
| A的點數 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| B的點數 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 |
| 1 | 和局 | A大 | A大 | A大 | A大 | A大 |
| 3 | B大 | B大 | A大 | A大 | A大 | A大 |
| 4 | B大 | B大 | A大 | A大 | A大 | A大 |
| 5 | B大 | B大 | 和局 | A大 | A大 | A大 |
| 6 | B大 | B大 | B大 | 和局 | A大 | A大 |
| 9 | B大 | B大 | B大 | B大 | B大 | 和局 |
今同時擲A、B兩骰子，在A點數大於B點數的條件下，B點數是6的機率為何？
(1) \(\frac{1}{6}\)
(2) \(\frac{1}{9}\)
(3) \(\frac{1}{16}\)
(4) \(\frac{1}{18}\)
(5) \(\frac{1}{32}\)
空間中有一個邊長為1的正立方體，點O為其中一個頂點，其餘7個頂點為A、B、C、D、E、F、G。已知\(\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1\)且\(\overline{OG}>1\)，試選出距離點O最遠的頂點？
(1) C
(2) D
(3) E
(4) F
(5) G
好的，我們先一步步推理。
---
## 1. 題意理解
題目說：
- 空間中有一個邊長為 1 的正立方體。
- 點 \( O \) 是其中一個頂點。
- 其餘 7 個頂點是 \( A, B, C, D, E, F, G \)。
- 已知 \( OA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = 1 \) 且 \( OG > 1 \)。
- 問距離 \( O \) 最遠的頂點是哪一個。
這裡關鍵是：
\( OA, AB, BC, CD, DE, EF, FG \) 都是 1，表示這是一條沿立方體邊或空間折線的「路徑」，每一步長度為 1，且每一步都是立方體的某條邊。
但立方體邊長是 1，所以這路徑是沿立方體的邊走，每一步到相鄰頂點。
---
## 2. 建立立方體座標
設 \( O = (0,0,0) \)。
立方體頂點集合為：
\[
(0,0,0),\ (1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1),\ (1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1),\ (1,1,1)
\]
令 \( O = (0,0,0) \)。
---
## 3. 推測路徑
已知 \( OA = 1 \) → \( A \) 是與 \( O \) 相鄰的頂點，有三個可能：
\( (1,0,0) \)、\( (0,1,0) \)、\( (0,0,1) \)。
但題目還說 \( OG > 1 \)，而 \( G \) 是最後一個頂點，如果 \( O \) 和 \( G \) 是立方體對角線，則 \( OG = \sqrt{3} \approx 1.732 > 1 \)，所以 \( G \) 應該是 \( (1,1,1) \) 才對。
但 \( G \) 是路徑的最後一個頂點：
\( O \to A \to B \to C \to D \to E \to F \to G \)，每一步是立方體的邊（長度 1）。
---
## 4. 檢查路徑唯一性
立方體是對稱的，但 \( OG > 1 \) 表示 \( G \) 與 \( O \) 不是同一點，也不是相鄰點（相鄰距離 1），也不是面對角線（距離 \(\sqrt{2}\) 也大於 1，但題目說 \( OG > 1 \) 其實包括 \(\sqrt{2}\) 和 \(\sqrt{3}\)，但這裡可能是排除 \( OG=1 \) 的情況，所以 \( G \) 不是 \( O \) 的鄰點）。
但 \( G \) 是路徑最後一步 \( FG = 1 \) 到達的，所以 \( G \) 是 \( F \) 的鄰點。
---
如果 \( G = (1,1,1) \)，那麼 \( F \) 必須是與 \( (1,1,1) \) 距離 1 的頂點，即 \( (1,1,0) \)、\( (1,0,1) \)、\( (0,1,1) \) 之一。
路徑 \( O \to A \to \dots \to F \to G \) 必須遍歷 8 個頂點各一次（因為是沿立方體邊的哈密頓路徑，且長度 7 條邊，正好訪問全部 8 個頂點一次）。
所以這是一個**哈密頓路徑**，起點 \( O \)，終點 \( G \)，且 \( OG > 1 \)。
## 5. 各頂點到 \( O \) 的距離
- \( O = (0,0,0) \)
- \( A = (1,0,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( B = (1,1,0) \), 距離 \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( C = (0,1,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( D = (0,1,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( E = (0,0,1) \), 距離 \( 1 \)
- \( F = (1,0,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( G = (1,1,1) \), 距離 \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
顯然 \( G \) 最遠。
---
## 7. 答案
但題目選項是 (1) C (2) D (3) E (4) F (5) G。
最遠是 \( G \)，所以選 (5)。
---
**最終答案：**
\[
\boxed{5}
\] 報錯
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某公司統計上週8家分店的來店人數x（單位：百人）及營業額y（單位：萬元），數據如下：
(3,3)、(3,5)、(3,2)、(4,4)、(5,8)、(6,7)、(8,12)、(8,7)，最適直線為\(y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}\)。將數據各自排序得新數據：
(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,5)、(5,7)、(6,7)、(8,8)、(8,12)，設新最適直線為\(y=mx+b\)，試選出正確的選項？
(1) \(m=\frac{5}{4}\)且\(b=-\frac{1}{4}\)
(2) \(m\gt\frac{5}{4}\)且\(b\gt-\frac{1}{4}\)
(3) \(m\gt\frac{5}{4}\)且\(b<-\frac{1}{4}\)
(4) \(m\lt\frac{5}{4}\)且\(b\gt-\frac{1}{4}\)
(5) \(m\lt\frac{5}{4}\)且\(b<-\frac{1}{4}\)
首先，我們需要明確求最適直線（這裡可理解為迴歸直線）的斜率\(m\)和截距\(b\)的相關知識，迴歸直線的斜率\(m=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\)，截距\(b=\bar{y}-m\bar{x}\)，其中\(\bar{x}\)是\(x\)的平均值，\(\bar{y}\)是\(y\)的平均值。
### 步驟一：計算原始數據的\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)
原始數據\(x\)：\(3,3,3,4,5,6,8,8\)；\(y\)：\(3,5,2,4,8,7,12,7\)。
\(\bar{x}=\frac{3 + 3+3+4+5+6+8+8}{8}=\frac{40}{8} = 5\)
\(\bar{y}=\frac{3 + 5+2+4+8+7+12+7}{8}=\frac{48}{8}=6\)
### 步驟二：計算新數據的\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)
新數據\(x\)：\(3,3,3,4,5,6,8,8\)；\(y\)：\(2,3,4,5,7,7,8,12\)。
\(\bar{x}=\frac{3 + 3+3+4+5+6+8+8}{8}=\frac{40}{8} = 5\)
\(\bar{y}=\frac{2 + 3+4+5+7+7+8+12}{8}=\frac{48}{8}=6\)
### 步驟三：分析斜率\(m\)的變化
對於迴歸直線斜率\(m\)，\(m=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}\)，分母\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\)在原始數據和新數據中，因為\(x\)值沒有變化，所以分母不變。
分子\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)，原始數據中\(y\)值相對分散，有較大的波動（如\(y = 2\)和\(y = 12\)等），新數據中\(y\)值隨著\(x\)的增大而更有規律地增大（\(x\)小的\(y\)小，\(x\)大的\(y\)大），所以新數據的分子\(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})\)會比原始數據的分子大。
因為分母不變，分子增大，所以\(m\)會增大，即\(m>\frac{5}{4}\)。
### 步驟四：分析截距\(b\)的變化
截距\(b=\bar{y}-m\bar{x}\)，\(\bar{x} = 5\)，\(\bar{y}=6\)，原始數據中\(b = 6-\frac{5}{4}\times5=6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}\)。
新數據中\(m>\frac{5}{4}\)，所以\(b=6 - m\times5\)，因為\(m>\frac{5}{4}\)，所以\(m\times5>\frac{25}{4}\)，則\(6 - m\times5<6-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}\)。
所以正確選項是(3)。 報錯
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試選出\(\sum\limits_{k=1}^{5}\log_7\left(\frac{2k-1}{2k+1}\right)\) 的值？
(1) \(\log11 – 2log(2k+1)\)（題目表述修正）
(2) \(\log11\)
(3) \(\log\frac{11}{7}\)
(4) \(-\frac{\log11}{\log7}\)
(5) \(\frac{\log11}{\log7}\)
我們要計算
\[
\sum_{k=1}^5 \log_7 \left( \frac{2k-1}{2k+1} \right)
\]
將各項寫出：
\[
\log_7 \left( \frac{1}{3} \right) + \log_7 \left( \frac{3}{5} \right) + \log_7 \left( \frac{5}{7} \right) + \log_7 \left( \frac{7}{9} \right) + \log_7 \left( \frac{9}{11} \right)
\]
利用對數性質合併：
\[
= \log_7 \left( \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{5}{7} \times \frac{7}{9} \times \frac{9}{11} \right)
\]
分子分母相消後得到：
\[
= \log_7 \left( \frac{1}{11} \right) = -\log_7 11
\]
換底公式：
\[
\log_7 11 = \frac{\log 11}{\log 7}
\]
所以結果為：
\[
-\frac{\log 11}{\log 7}
\]
對應選項 (4)。
\[
\boxed{4}
\] 報錯
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設二階方陣 \(A=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項？
(1) \(A^2=A\)
(2) \(A+B=B+A\)
(3) \(AB=BA\)
(4) \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)
(5) \((A+B)^2=2(A+B)\)
1. (1) \(A^2=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A\)，對；
2. (2) 矩陣加法交換律，\(A+B=B+A\)，對；
3. (3) \(AB=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(BA=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，不相等，錯；
4. (4) 左\(=\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\)，右\(=\begin{bmatrix}1&-2\\1&-2\end{bmatrix}\)，錯；
5. (5) \((A+B)^2=2(A+B)\)，對。答案：(1)(2)(5) 報錯
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平面上三角形ABC，\(\angle A=91^\circ\)、\(\angle C=29^\circ\)，令\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)、\(\overline{AB}=c\)，試選出正確的選項？
(1) \(a^2\gt b^2+c^2\)
(2) \(\frac{c}{a}\gt\sin29^\circ\)
(3) \(\frac{b}{a}\gt\cos29^\circ\)
(4) \(\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\lt\sqrt{3}\)
(5) 外接圓半徑小於c
已知三角形 \(ABC\) 中：
\[
\angle A = 91^\circ, \quad \angle C = 29^\circ, \quad \angle B = 60^\circ
\]
（因為 \(180^\circ - 91^\circ - 29^\circ = 60^\circ\)）
邊長：
\[
BC = a, \quad CA = b, \quad AB = c
\]
（即 \(a\) 對 \(\angle A\)，\(b\) 對 \(\angle B\)，\(c\) 對 \(\angle C\)）
---
**(1) \( a^2 > b^2 + c^2 \)**
由餘弦定理：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
\(\cos 91^\circ < 0\)，所以 \(-2bc\cos A > 0\)，因此
\[
a^2 > b^2 + c^2
\]
✅ 正確。
---
**(2) \( \frac{c}{a} > \sin 29^\circ \)**
正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
所以
\[
\frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 29^\circ}{\sin 91^\circ}
\]
\(\sin 91^\circ \approx \sin 90^\circ = 1\)，實際略大於 1（\(\sin 91^\circ \approx 0.99985\)），所以
\[
\frac{c}{a} \approx 0.99985^{-1} \times \sin 29^\circ \approx 1.00015 \times 0.4848 \approx 0.48487
\]
而 \(\sin 29^\circ \approx 0.4848\)，比較：
\[
\frac{c}{a} \approx 0.48487 > 0.4848
\]
✅ 正確（雖然很接近，但確實大於）。
---
**(3) \( \frac{b}{a} > \cos 29^\circ \)**
\[
\frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 91^\circ} \approx \frac{0.866025}{0.99985} \approx 0.86615
\]
\(\cos 29^\circ \approx 0.87462\)，比較：
\[
0.86615 < 0.87462
\]
❌ 錯誤。
---
**(4) \( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} < \sqrt{3} \)**
由餘弦定理：
\[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]
所以
\[
\frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = 2\cos C = 2\cos 29^\circ \approx 2 \times 0.87462 \approx 1.74924
\]
\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，比較：
\[
1.74924 > 1.732
\]
❌ 錯誤。
---
**(5) 外接圓半徑小於 \(c\)**
外接圓半徑 \(R = \frac{a}{2\sin A} \approx \frac{a}{2 \times 0.99985} \approx 0.500075 \times a\)
由正弦定理：
\[
c = 2R \sin C \implies R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{c}{2 \times 0.4848} \approx \frac{c}{0.9696} \approx 1.0314 \times c
\]
等等，這裡要小心：題目給的 \(a,b,c\) 是邊長，\(R\) 是固定值。
用 \(a = 2R\sin A\)，\(c = 2R\sin C\)。
比較 \(R\) 與 \(c\)：
\[
c = 2R\sin C \implies \frac{R}{c} = \frac{1}{2\sin C} \approx \frac{1}{0.9696} \approx 1.0314
\]
所以 \(R \approx 1.0314 \times c > c\)，因此 \(R < c\) 不成立。
❌ 錯誤。
---
**正確選項：** (1)、(2)
\[
\boxed{12}
\] 報錯
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有一個抽牌拿獎金活動，規則如下：
在一個不透明箱子中有 2 張標示金額「1000 元」的牌及 3 張標示金額「0 元」的牌。參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人再將一張標示金額「500 元」的牌放入箱中。此時參加者有以下兩種選擇：
（一）保留原先抽出的牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。
（二）放棄原先抽出的牌且不放回，再從箱中隨機抽出一張牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。
今某甲參加此活動，假設每張牌被抽中的機會均相等，試選出正確的選項。
(1) 若某甲選擇（一），則獲得獎金 0 元的機率為 \(\frac{3}{5}\)
(2) 若某甲選擇（一），則獲得獎金的期望值為 500 元
(3) 若某甲選擇（二），則獲得獎金 1000 元的機率為 \(\frac{2}{5}\)
(4) 若某甲選擇（二），則獲得獎金 0 元的機率為 \(\frac{12}{25}\)
(5) 若某甲選擇（二），則獲得獎金的期望值為 420 元
好的，我們先一步步推理這個抽獎問題。
---
## 1. 初始情況
箱子裡有 5 張牌：
- 2 張 1000 元
- 3 張 0 元
某甲先隨機抽一張牌（不知道金額），然後主持人放入一張 500 元牌，此時箱中有 5 張牌：
- 某甲手上 1 張（可能是 1000 元或 0 元）
- 箱子裡剩 4 張牌（包含 2 張 1000 元與 3 張 0 元中的剩餘部分）
- 再加入 1 張 500 元牌，所以箱子裡總共 4 張牌（來自原剩的 4 張 + 0 張？等等，要算清楚）
---
**初始：** 箱 5 張 = 2 張 1000 元 + 3 張 0 元
甲抽 1 張後，箱剩 4 張牌（結構取決於甲抽到什麼）。
然後主持人放入 1 張 500 元牌，所以此時箱中有 5 張牌嗎？不對，題意是：
「參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人再將一張標示金額『500 元』的牌放入箱中。」
所以順序是：
1. 甲抽 1 張（箱剩 4 張）
2. 主持人放入 500 元牌（箱變為 4 + 1 = 5 張）
3. 甲決定（一）保留原牌，或（二）放棄原牌（不放回），再從箱中抽 1 張。
---
## 2. 選擇（一）的情況
甲保留原牌，獎金就是原牌金額。
原牌來自初始 5 張牌（2 張 1000 元，3 張 0 元），所以：
- 獎金 0 元機率 = \( \frac{3}{5} \)
- 獎金 1000 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
期望值 = \( 0 \times \frac{3}{5} + 1000 \times \frac{2}{5} = 400 \) 元
---
**(1)** 獲得獎金 0 元的機率為 \( \frac{3}{5} \) ✅ 正確
**(2)** 期望值為 500 元 ❌ 錯誤（是 400 元）
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## 3. 選擇（二）的情況
甲放棄原牌（不放回），再從箱中抽 1 張。
此時箱中 5 張牌：
- 原剩 4 張（結構取決於第一抽抽到什麼）
- 加上主持人放入的 1 張 500 元牌
所以第一抽的結果會影響箱中牌的分佈。
---
### 情況 1：第一抽抽到 1000 元（機率 \( \frac{2}{5} \)）
初始剩 4 張牌 = 1 張 1000 元 + 3 張 0 元
加入 500 元牌後：箱中 = 1 張 1000 元 + 3 張 0 元 + 1 張 500 元（共 5 張）
第二抽獎金分佈：
- 1000 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 500 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 0 元機率 = \( \frac{3}{5} \)
---
### 情況 2：第一抽抽到 0 元（機率 \( \frac{3}{5} \)）
初始剩 4 張牌 = 2 張 1000 元 + 2 張 0 元
加入 500 元牌後：箱中 = 2 張 1000 元 + 2 張 0 元 + 1 張 500 元（共 5 張）
第二抽獎金分佈：
- 1000 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
- 500 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 0 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
---
## 4. 選擇（二）的總機率
**(3) 獲得獎金 1000 元的機率**
\[
P = \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}
= \frac{2}{25} + \frac{6}{25} = \frac{8}{25}
\]
選項說 \( \frac{2}{5} = \frac{10}{25} \) ❌ 錯誤
---
**(4) 獲得獎金 0 元的機率**
\[
P = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}
= \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}
\]
✅ 正確
---
**(5) 獲得獎金的期望值**
情況 1（第一抽 1000 元，機率 \( \frac{2}{5} \)）：
期望值 = \( \frac{1}{5} \times 1000 + \frac{1}{5} \times 500 + \frac{3}{5} \times 0 = 200 + 100 = 300 \)
情況 2（第一抽 0 元，機率 \( \frac{3}{5} \)）：
期望值 = \( \frac{2}{5} \times 1000 + \frac{1}{5} \times 500 + \frac{2}{5} \times 0 = 400 + 100 = 500 \)
總期望值 =
\[
\frac{2}{5} \times 300 + \frac{3}{5} \times 500
= 120 + 300 = 420
\]
✅ 正確
---
## 5. 結論
正確選項：(1)、(4)、(5)
\[
\boxed{145}
\] 報錯
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某洗衣機的行程必須從一、二、三、四、五共 5 種不同衣料擇一，搭配甲、乙、丙、丁共 4 種不同模式擇一，另有 A、B、C 共 3 種附加功能，每種附加功能可以自由選擇是否開啟，但是「第一種衣料」不可以與附加功能「A」同時使用。
例如「第二種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「A」、「B」兩種附加功能為一個可以的行程；但「第一種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「A」、「B」兩種附加功能為一個不可以的行程。
根據上述，此洗衣機共有_____個可以的行 程 。
---
**解題：**
1. **先算沒有禁止規則的總數**
- 衣料選擇：5 種
- 模式選擇：4 種
- 附加功能 A、B、C 各可開或不開 → \(2^3 = 8\) 種
總數： \(5 \times 4 \times 8 = 160\) 種行程。
2. **減去「第一種衣料 + 附加功能 A 開啟」的非法情形**
- 衣料固定為第一種（1 種）
- 模式有 4 種
- 附加功能 A 必須開（固定），B 與 C 可開可不開 → \(2^2 = 4\) 種
非法數： \(1 \times 4 \times 4 = 16\) 種。
3. **合法行程數**
\(160 - 16 = 144\) 種。
---
**答案：**
\[
\boxed{144}
\] 報錯
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平面上不共線三點$A、B、C$，\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16\)，\(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\)，則\(\overline{AC}\)=$\sqrt{~~~~~~}$（化簡根式）。
1. \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)，故\(\overrightarrow{CB}·\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})·\overrightarrow{AC}=16 - |\overrightarrow{AC}|^2=3\)；
2. 解得\(|\overrightarrow{AC}|^2=13\)，故\(\overline{AC}=\sqrt{13}\)。答案：13 報錯
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