數學指考分科-乙

用推理：設兩車為車1、車2。
由(1)甲A同車，(2)乙B同車，(3)C,D不同車。
(1) A與D不一定不同車，可能同車，錯誤。
(2) 甲與B：若甲與B同車，則該車有甲,A,B，另一車有乙,B? 矛盾，因為B只能在一車，所以甲與B必不同車，正確。
(3) 乙與丙不一定同車，錯誤。
(4) 若乙與丁同車，則該車有乙,B,丁，另一車有甲,A,C/D。若丙在乙車則4人滿；若丙在甲車，則甲車有甲,A,丙,C/D，則B車有乙,B,丁,? 必須是C或D，但C,D不同車，所以若B車有C，則甲車有D；若B車有D，則甲車有C。此時丙在甲車，與B小姐不同車。所以(4)不一定成立，錯誤。
(5) 若D與乙同車，則乙車有乙,B,D，另一車有甲,A,C（因C,D不同車）。所以C與A同車，正確。
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\( a = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} - 1} \)。
(1) \(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 - 0.707 = 0.293 \gt 0\)，所以 \(a \gt 10^0 = 1\)，正確。
(2) \(a = 10^{0.293} \approx 1.96\)，\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，所以 \(a \gt \sqrt{3}\)，錯誤。
(3) \(a^2 = 10^{2 - \sqrt{2}} \approx 10^{0.586}\)，\(b^{\sqrt{3}} = 10^{(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} = 10^{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \approx 10^{2.449 - 1.732} = 10^{0.717}\)，所以 \(a^2 \lt b^{\sqrt{3}}\)，正確。
(4) \(b = 10^{\sqrt{2}-1} \approx 10^{0.414}\)，\(10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5}\) 成立，正確。
(5) \(ab = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} - 1} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)，\((ab)^{\sqrt{2}} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = 10^1 = 10\)，所以等於10，錯誤。
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\(L: x-2y=-4 \Rightarrow y=\frac{x+4}{2}\)。
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{OP} = (1,0)\)，平行意味著 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} = k(1,0)\)，即 y=0，代入 L 得 x=-4，A=(-4,0) 在 L 上，正確。
(2) 垂直則內積 0，設 B=(x,(x+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = x = 0\)，得 B=(0,2) 在 L 上，正確。
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\rightharpoonup}{PC} = 0\)，設 C=(t,(t+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OC} = (t,(t+4)/2)\)，\( \overset{\rightharpoonup}{PC} = (t-1,(t+4)/2)\)，內積 \(t(t-1) + \frac{(t+4)^2}{4} = 0\)，化簡得 \(4t^2-4t + t^2+8t+16 = 5t^2+4t+16=0\)，判別式 16-320<0，無實數解，錯誤。
(4) 設 D=(t,(t+4)/2)，\(PD^2 = (t-1)^2 + ((t+4)/2)^2 = 4\)，化簡得 \(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+20=0\)? 檢查：乘4：\(4(t-1)^2 + (t+4)^2 = 4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 4\times 4=16\)? 我算錯。正確：\( (t-1)^2 + \frac{(t+4)^2}{4} = 4\)，乘以4：\(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 16\)，得 \(5t^2= -4\) 無解，錯誤。
(5) 等腰三角形 EOP：可能 EO=EP 或 EO=OP 或 EP=OP。OP=1。設 E=(t,(t+4)/2)，計算 EO 與 EP，可找到解，例如 E=(-4,0) 則 EO=4, EP=5 不等腰；但可找到其他點，例如對稱軸上的點，正確（因為滿足條件的點存在）。
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累積人數：<10k:30%，10k~20k:40%，20k~40k:70%，40k~80k:100%。
(1) 中位數在第500人處，落在20k~40k區間，正確。
(2) 10k~20k區間機率10%，其他區間30%或30%，確實最低，正確。
(3) 平均數可能高於40k，因為40k~80k區間可拉高平均，錯誤。
(4) 右偏分布時平均數>中位數，但此資料右偏嗎？40k~80k占30%，可能平均>中位數，所以平均不可能低於中位數？不一定，若左邊數值很低可能平均<中位數？但本題左邊30%<10k，10%在10k~20k，30%在20k~40k，30%在40k~80k，估計平均數約 (5k×30% + 15k×10% + 30k×30% + 60k×30%) = 1.5k + 1.5k + 9k + 18k = 30k，中位數在20k~40k，可能平均>中位數或接近，但「不可能低過」不一定成立，錯誤。
(5) 原平均約30k，總所得30M，新加入200k，總所得30.2M，人數1001，平均約30170，增加約170元 \< 200元，正確。
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總排列數 \(6!\)。計算前三顆有相鄰兩白球的機率。
用補集：前三顆沒有相鄰兩白球 ⇒ 白球分開排列。
前三顆球中白球數 k=0,1,2,3。
k=0：全紅，但紅球只有3個，不可能全紅在前三顆（因為紅3白3）。
k=1：白1紅2，排列數 C(3,1)×C(3,2)×3! = 3×3×6=54，且無相鄰白球（因只有1白）。
k=2：白2紅1，要無相鄰白球 ⇒ 排列為 紅白紅白? 但只有3位，只能是 白紅白，排列數：選哪個紅球 C(3,1)=3，排列方式 白紅白 中白球有2個不同，所以 3×2=6？不對，白球有3選2 C(3,2)=3，紅球3選1 C(3,1)=3，排列方式只有「白紅白」1種，所以 3×3×1=9。
k=3：前三顆全白，必有相鄰白球，不算。
所以無相鄰白球情況數 = 54+9=63。
總排列數 = 6! = 720，但我們只關心前三顆的顏色排列，其實機率與後三顆無關，所以樣本空間為 C(6,3)=20 種前三顆組合? 但題目是「依次取出」所以考慮順序，總數 P(6,3)=120 種前三顆排列。
無相鄰白球情況數：k=1：白1紅2：選白 C(3,1)=3，選紅 C(3,2)=3，排列數：3個位置放1白2紅且白不在相鄰? 其實只有1白不會相鄰，所以排列數 3! = 6，所以 3×3×6=54。
k=2：白2紅1：選白 C(3,2)=3，選紅 C(3,1)=3，排列且白不相鄰 ⇒ 排列為 白紅白 只有1種排列，所以 3×3×1=9。
總無相鄰 = 54+9=63。
所以有相鄰白球機率 = 1 - 63/120 = 57/120 = 19/40。
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\( A^{-1} = cB \) ⇒ \( A \cdot cB = I \) ⇒ \( c AB = I \) ⇒ \( AB = \frac{1}{c} I \)。
計算 \( AB = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+4 & -6+2x \\ -6+2x & 4+x^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 2x-6 \\ 2x-6 & x^2+4 \end{bmatrix} \)。
要等於 \( k I \)，則 \( 2x-6=0 \) ⇒ \( x=3 \)。
代入得 \( AB = \begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} = 13I \)，所以 \( \frac{1}{c} = 13 \) ⇒ \( c = \frac{1}{13} \)。
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設首項 \(a_1\)，公差 \(d\)。
\( a_2+a_4+a_6 = (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d) = 3a_1+9d = 186 \) ⇒ \( a_1+3d=62 \)。
\( a_3+a_7 = (a_1+2d)+(a_1+6d) = 2a_1+8d = 110 \) ⇒ \( a_1+4d=55 \)。
解聯立：相減得 \( d = -7 \)，代入得 \( a_1 = 55-4(-7)=55+28=83 \)。
\( s_n = \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d) = \frac{n}{2}(166 + (n-1)(-7)) = \frac{n}{2}(173 - 7n) \)。
\( \frac{s_n}{n^2} = \frac{173 - 7n}{2n} \)，當 \( n \to \infty \) 時趨近於 \( -\frac{7}{2} \)。
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點數和為3的可能情況：(1,2)或(2,1)。
\(P(1,2) = P(X=1)\times P(X=2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{36}\)
\(P(2,1) = P(X=2)\times P(X=1) = \frac{1}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}\)
總機率 = \(\frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
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設平地\(x\)單位，山坡地\(y\)單位。
租金限制：\(30x + 20y \leq 80\)
成本限制：\(40x + 50y \leq 130\)
非負限制：\(x \geq 0, y \geq 0\)
目標函數：利潤\(P = 120x + 90y\)
化簡：租金限制 ÷10：\(3x + 2y \leq 8\)
成本限制 ÷10：\(4x + 5y \leq 13\)
求交點：
\(3x + 2y = 8\) ①
\(4x + 5y = 13\) ②
①×5：\(15x + 10y = 40\)
②×2：\(8x + 10y = 26\)
相減：\(7x = 14\) ⇒ \(x = 2\)
代入①：\(6 + 2y = 8\) ⇒ \(y = 1\)
頂點檢驗：
(0,0)：\(P=0\)
(0,2.6)：但\(y=2.6\)時租金\(=52>80\)? 不對，檢查：成本限制\(y \leq 2.6\)，租金限制\(y \leq 4\)，取\(y=2.6\)時租金\(=52\)萬元，但上限80萬，所以(0,2.6)可行？但租金52<80，可行。\(P=90×2.6=234\)
(2,1)：\(P=240+90=330\)
(2.67,0)：但租金\(=80\)，成本\(=106.8<130\)，可行。\(P=120×2.67=320.4\)
最大利潤在(2,1)，利潤330萬元。
答案為 平地2單位，山坡地1單位，最大利潤330萬元。 報錯
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