某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1)試寫出描述上述現象的轉移矩陣。
答案
數學指考分科-乙
106指考數學乙試題-2)
(2)試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？
[非選擇題]
答案
106指考數學乙試題-1)
袋中有紅色代幣4枚，綠色代幣9枚，以及藍色代幣若干枚。每一枚紅色、綠色、藍色代幣分別可兌換50元、20元及10元。現從袋中取出代幣，每一枚代幣被取出的機率均等。設隨機變數X代表取出1枚代幣可兌換的金額（單位：元）；隨機變數Y代表一次取出2枚代幣可兌換的金額（單位：元）。已知X的期望值為20。
(1)試問藍色代幣有多少枚？
答案
106指考數學乙試題-2)
(2)試問 \( Y \leq 50 \) 的機率 \( P(Y \leq 50) \) 為何？
[非選擇題]
答案
總代幣數 \( 13+12=25 \) 枚。
取2枚的組合數 \( C(25,2) = 300 \)。
\( Y \leq 50 \) 表示兩枚代幣金額和 ≤ 50。
可能情況：
- 兩枚都是10元（藍）：\( C(12,2)=66 \)
- 一枚10元（藍）一枚20元（綠）：\( 12\times 9 = 108 \)
- 兩枚都是20元（綠）：\( C(9,2)=36 \)
- 一枚10元（藍）一枚50元（紅）：\( 12\times 4 = 48 \)（和=60>50，不算）
- 其他組合都會超過50。
所以符合的組合數 = 66+108+36 = 210。
機率 \( = \frac{210}{300} = \frac{7}{10} \)。
答案為 \( \frac{7}{10} \)。 報錯
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110指考數學乙試題-02
已知實係數二次多項式函數 \( f(x) \) 滿足 \( f(-1)=k \)，\( f(1)=9k \)，\( f(3)=-15k \)，其中 \( k\gt0 \)。
設函數 \( y=f(x) \) 圖形頂點的x坐標為 \( a \)，試選出正確的選項。
(1) \( a\leq -1 \)
(2) \(-1\lt a\lt 1\)
(3) \( a=1 \)
(4) \( 1\lt a\lt 3 \)
(5) \( 3\leq a \)
答案
110指考數學乙試題-03
某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為1至6的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金100元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張牌，且其號碼之和為奇數，則可得獎金50元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
(1) 50
(2) 70
(3) 72
(4) 80
(5) 100
答案
第一階段：從6張取2張，和為奇數的機率為 \( \frac{C_3^1 C_3^1}{C_6^2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \)，期望值 \( 100 \times \frac{3}{5} = 60 \)。第二階段：和為偶數機率 \( \frac{2}{5} \)，此時從剩下4張取2張，和為奇數機率為 \( \frac{C_2^1 C_2^1}{C_4^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)，期望值 \( 50 \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)。總期望值 \( 60 + 6.67 = 66.67 \)，最接近選項(2) 70？重新計算：第二階段期望值 \( \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} \times 50 = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \)，總和 \( 60 + 13.33 = 73.33 \)，最接近(3) 72。答案：(3) 報錯
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110指考數學乙試題-04
設 \( a = \log_2 8, b = \log_3 1, c = \log_{0.5} 8 \)，試選出正確的選項。
(1) \( b = 0 \)
(2) \( a + b + c > 0 \)
(3) \( a > b > c \)
(4) \( a^2 > b^2 > c^2 \)
(5) \( 2^a > 3^b > (\frac{1}{2})^c \)
答案
計算：\( a = \log_2 8 = 3 \)，\( b = \log_3 1 = 0 \)，\( c = \log_{0.5} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \)。
(1) 正確，\( b=0 \)
(2) 錯誤，\( a+b+c=3+0-3=0 \)
(3) 正確，\( 3 > 0 > -3 \)
(4) 正確，\( 9 > 0 > 9 \)？\( c^2=9 \)，\( a^2=9 \)，\( b^2=0 \)，故 \( a^2 = c^2 > b^2 \)，選項錯誤
(5) 正確，\( 2^a=8 \)，\( 3^b=1 \)，\( (\frac{1}{2})^c=2^{-c}=2^3=8 \)，故 \( 2^a = (\frac{1}{2})^c > 3^b \)，選項錯誤
答案：(1)(3) 報錯
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110指考數學乙試題-05
某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和 \( a, b, c, d, e \) 五個角色公仔，共八個玩具，分成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具，其分裝的原則如下：
（一）甲和 \( a \) 必須裝在同一袋。
（二）每袋至少裝有一個積木模型。
（三）\( d \) 和 \( e \) 必須裝在不同袋。
根據以上敘述，試選出正確的選項。
(1) 每袋至少裝有兩個角色公仔
(2) 乙和丙必裝在不同袋
(3) 如果乙和 \( d \) 裝在同一袋，則丙和 \( e \) 必裝在同一袋
(4) 如果乙和 \( d \) 裝在不同袋，則 \( b \) 和 \( c \) 必裝在不同袋
(5) 如果 \( b \) 和 \( c \) 裝在不同袋，則乙和丙必裝在同一袋
答案
設兩袋為X,Y。由(1)甲和a同袋，設在X袋。由(2)每袋至少1積木，X已有甲，Y需至少1個積木（乙或丙）。由(3)d,e不同袋。
(1) 錯誤，可能一袋有3個角色公仔，另一袋2個
(2) 錯誤，乙丙可在同袋（Y袋）
(3) 正確，若乙和d同袋，設在Y袋，則Y袋有乙,d，還需2個玩具。由(2)Y袋需有積木，故丙在Y袋。由(3)e需在X袋，故丙和e不同袋？題目說丙和e必裝在同一袋？檢查：乙,d在Y袋，則e必在X袋，丙可在Y袋（與e不同袋）或X袋（與e同袋）。但Y袋需有積木，若丙在Y袋，則Y袋有乙,丙,d,+1角色；若丙在X袋，則Y袋只有乙,d,+2角色，無積木，違反(2)。故丙必在Y袋，與e不同袋，選項錯誤
(4) 乙和d不同袋：設d在X袋（與甲,a同袋），則乙可在Y袋。此時b,c可同袋或不同袋，不一定
(5) b,c在不同袋，則乙丙必在同袋？不一定，乙丙可分裝兩袋
重新分析(3)：乙,d同袋設為Y袋，則Y袋需有積木，故丙在Y袋（與d同袋），e在X袋，故丙和e不同袋，選項說"必裝在同一袋"錯誤
答案：經檢驗無正確選項？但多選題至少1正確。檢查(2)乙丙必裝在不同袋？不一定，可同袋。故本題無正確選項？但依考試設計應有正確者。可能(3)在特定條件下成立？暫定無解 報錯
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110指考數學乙試題-06
已知實數數列 \( \langle a_n \rangle \) 滿足 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = \frac{2n+1}{2n-1}a_n \)，\( n \)為正整數。試選出正確的選項。
(1) \( a_2 = 3 \)
(2) \( a_4 = 9 \)
(3) \( \langle a_n \rangle \) 為等比數列
(4) \( \sum_{n=1}^{20} a_n = 400 \)
(5) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 2 \)
答案
計算：\( a_2 = \frac{3}{1} \times 1 = 3 \)，\( a_3 = \frac{5}{3} \times 3 = 5 \)，\( a_4 = \frac{7}{5} \times 5 = 7 \)，\( a_5 = \frac{9}{7} \times 7 = 9 \)
(1) 正確，\( a_2=3 \)
(2) 錯誤，\( a_4=7 \)
(3) 錯誤，公比非常數
(4) \( a_n = 2n-1 \)，求和 \( \sum_{n=1}^{20} (2n-1) = 2\sum n - 20 = 2\times\frac{20\times21}{2}-20=420-20=400 \)，正確
(5) \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2 \)，正確
答案：(1)(4)(5) 報錯
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