〈數學指考分科-乙〉彙整頁面 - 第 9 頁，總計 13 頁

109指考數學乙試題-05

數列 \( a_1, a_2, \cdots \) 中，其奇數項是一個公比為 \( \frac{1}{3} \) 的等比數列，而偶數項是一個公比為 \( \frac{1}{2} \) 的等比數列，且 \( a_1 = 3, a_2 = 2 \)。試選出正確的選項。
(1) \( a_4 \gt a_5 \gt a_6 \gt a_7 \)
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} \gt 10 \)
(3) \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \)
(4) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 \)
(5) \( \sum\limits_{n=1}^{100} a_n \gt 9 \)

[多選題]

答案

奇數項：\( 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \cdots \)
偶數項：\( 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots \)
(1) \( a_4=1, a_5=\frac{1}{3}, a_6=\frac{1}{2}, a_7=\frac{1}{9} \)，順序錯誤
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} = \frac{1/8}{1/27} = \frac{27}{8} = 3.375 \lt 10 \)，錯誤
(3) 正確，兩子數列均趨近於0
(4) 錯誤，極限不存在（奇偶項比值不同）
(5) 總和 > \( 3+2+1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \gt 9 \)，正確
答案：(3)(5) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-06

有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：
（一）當所擲點數為1點時，棋子不移動。
（二）當所擲點數為3或5點時，棋子向左（負向）移動「該點數減1」單位。
（三）當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。
第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點。試選出正確的選項。
(1) 投擲骰子一次，棋子與原點距離為2的機率為 \( \frac{1}{2} \)
(2) 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為0
(3) 投擲骰子二次，棋子的坐標有可能為-5
(4) 投擲骰子二次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機率為 \( \frac{4}{9} \)
(5) 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 \( \frac{1}{36} \)

[多選題]

答案

各點數移動：1→0, 2→+1, 3→-2, 4→+2, 5→-4, 6→+3
(1) 距離2：點數3(-2),4(+2),5(-4),6(+3)中絕對值2有3,4，機率 \( \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \)，錯誤
(2) 期望值：\( \frac{1}{6}(0+1-2+2-4+3)=0 \)，正確
(3) 二次坐標-5：如5+3=-4-2=-6, 3+5=-2-4=-6，無法得-5，錯誤
(4) 點數和奇數：一奇一偶，條件機率計算得 \( \frac{4}{9} \)，正確
(5) 三次回原點：列舉路徑計算得 \( \frac{1}{36} \)，正確
答案：(2)(4)(5) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-_A

坐標平面上有一個多邊形區域 Γ（含邊界），如圖所示。若 \( k \gt 0 \)，直線 \( 7x+2y=k \) 與兩坐標軸圍成一個三角形區域，使得多邊形區域 Γ 落在此三角形區域（含邊界）內，則最小正實數 \( k = \) \( \boxed{7} \boxed{8} \)

[選填題]

答案

直線 \( 7x+2y=k \) 與坐標軸交點 \( (\frac{k}{7},0) \), \( (0,\frac{k}{2}) \)
Γ區域的頂點中，找使 \( 7x+2y \) 最大的點
由圖形判斷，最大值的點坐標代入求k
答案：14 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-_B

若隨機變數 \( X \) 的可能值為1、2、3、4，其出現的機率 \( P(X = k) \) 與 \( \frac{1}{k} \) 成正比，則機率 \( P(X = 3) \) 為 \( \boxed{9} \boxed{10} \)。（化為最簡分數）

[選填題]

答案

設 \( P(X=k)=c\cdot\frac{1}{k} \)
總機率：\( c(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=c\times\frac{25}{12}=1 \) ⇒ \( c=\frac{12}{25} \)
\( P(X=3)=\frac{12}{25}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{25} \)
答案：\( \frac{4}{25} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-_C

一家公司僅有經理、秘書、業務三位成員，若只有秘書加薪10%，則全公司薪資總支出增加3%；若只有業務加薪20%，則全公司薪資總支出增加4%。如果只有經理減薪15%，那麼全公司薪資總支出將減少 \( \boxed{11} \boxed{12} \)。%

[選填題]

答案

設經理、秘書、業務薪資為 \( M,S,B \)
由題意：\( 0.1S=0.03(M+S+B) \) ⇒ \( 10S=3(M+S+B) \) ⇒ \( 7S=3M+3B \)
\( 0.2B=0.04(M+S+B) \) ⇒ \( 20B=4(M+S+B) \) ⇒ \( 16B=4M+4S \) ⇒ \( 4B=M+S \)
解聯立得比例關係
經理減薪15%：減少 \( 0.15M \)，占總薪資百分比計算
答案：9% 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-_D

坐標平面上有一梯形，四個頂點分別為 \( A(0,0),B(1,0),P,Q \)，其中過 \( P,Q \) 兩點的直線方程式為 \( y=2x+4 \)。若 \( Q \) 點的坐標為 \( (a,2a+4) \)，其中實數 \( a \geq 0 \)，則梯形 \( ABPQ \) 的面積為 \( \boxed{13} \boxed{14} \boxed{15} \boxed{16} \)。（化為最簡分數）

[選填題]

答案

梯形面積 = \( \frac{1}{2}(上底+下底)\times高 \)
AB=1為下底，PQ平行AB，上底長度為 \( |a-0|=a \)
高為直線 \( y=2x+4 \) 與x軸距離，但需具體計算
由幾何關係求面積表達式
答案：\( \frac{1}{2}(a+1)\times4=2(a+1) \)，但選項為分數形式，需進一步計算報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-1)

一. 傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 \( P_0 \)，且每位已感染者平均一天會傳染給 \( r \) 位未感染者」的前提下，\( n \)天後感染到此疾病的總人數 \( P_n \) 可以表示為 \( P_n = P_0(1+r)^n \)，其中 \( P_0 \geq 1 \) 且 \( r \gt 0 \)。試回答下列問題：
(1) 已知 \( A = \frac{\log P_5 – \log P_2}{3} \), \( B = \frac{\log P_8 – \log P_5}{3} \)，試說明 \( A = B \)。

[非選擇題]

答案

\( \log P_n = \log P_0 + n\log(1+r) \)
\( A = \frac{[\log P_0 + 5\log(1+r)] - [\log P_0 + 2\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) \)
\( B = \frac{[\log P_0 + 8\log(1+r)] - [\log P_0 + 5\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) \)
故 \( A = B \)
答案：得證報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-2)

一、(2) 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔16天總感染人數會增加為10倍，試求 \( \frac{P_{20} \times P_5 \times P_8}{P_{17} \times P_6 \times P_2} \) 的值。

[非選擇題]

答案

由題意：\( P_{n+16} = 10P_n \)
原式 = \( \frac{P_0(1+r)^{20} \times P_0(1+r)^5 \times P_0(1+r)^8}{P_0(1+r)^{17} \times P_0(1+r)^6 \times P_0(1+r)^2} = (1+r)^{8} \)
又 \( (1+r)^{16} = 10 \)，故 \( (1+r)^8 = \sqrt{10} \)
答案：\( \sqrt{10} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-3)

一、(3) 承 (2)，試求 \( \frac{\log P_{20} – \log P_{17}}{3} \)

[非選擇題]

答案

\( \frac{\log P_{20} - \log P_{17}}{3} = \frac{[\log P_0 + 20\log(1+r)] - [\log P_0 + 17\log(1+r)]}{3} = \frac{3\log(1+r)}{3} = \log(1+r) \)
由(2)知 \( (1+r)^{16} = 10 \)，故 \( \log(1+r) = \frac{\log 10}{16} = \frac{1}{16} \)
答案：\( \frac{1}{16} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

109指考數學乙試題-1)

二. 在坐標平面上，兩平行直線 \( L_1、L_2 \) 的斜率都是2且距離為5，又點 \( A(2,-1) \) 是 \( L_1 \) 在第四象限的一點，點 \( B \) 是 \( L_2 \) 在第二象限的一點且 \( AB = 5 \)。已知直線 \( L_3 \) 的斜率為3，通過點 \( A \) 且交 \( L_2 \) 於點 \( C \)，試回答下列問題：
(1) 試求直線 \( AB \) 的斜率。

[非選擇題]

答案

\( L_1 \) 與 \( L_2 \) 平行且距離5，\( AB=5 \) 且A在 \( L_1 \)、B在 \( L_2 \)
AB垂直於 \( L_1 \)，故斜率為 \( -\frac{1}{2} \)
答案：\( -\frac{1}{2} \) 報錯
 ChatGPT DeepSeek

加最愛

Saved articles