一圓盤分成標有數字0、1的兩區域，且圓盤上有一可轉動的指針。已知每次轉動指針後，前後兩次指針停在同一區域的機率為\(\frac{1}{4}\)，而停在不同區域的機率為\(\frac{3}{4}\)。遊戲規則為連續轉動指針三次，計算指針在這三次所停區域的標號數字之和。若遊戲前指針的位置停在標號數字為1的區域，則此遊戲的期望值為__________。(化成最簡分數)
因為遊戲前指針停在數字1的區域，我們分情況討論三次轉動指針後數字之和的概率：
- **三次指針所停區域數字之和為1**：意味著後兩次指針都停在0區域。第一次轉動指針從1區域到0區域的概率為\(\frac{3}{4}\)，第二次從0區域再到0區域的概率為\(\frac{1}{4}\)，所以這種情況的概率為\(\frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}\)。
- **三次指針所停區域數字之和為2**：有兩種情況。第一種是第一次轉動指針從1區域到0區域（概率為\(\frac{3}{4}\)），第二次從0區域到1區域（概率為\(\frac{3}{4}\)），概率為\(\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)；第二種是第一次轉動指針從1區域到1區域（概率為\(\frac{1}{4}\)），第二次從1區域到0區域（概率為\(\frac{3}{4}\)），概率為\(\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{16}\)。那麽和為2的總概率是\(\frac{9}{16}+\frac{3}{16}=\frac{12}{16}\)。
- **三次指針所停區域數字之和為3**：即後兩次指針都停在1區域。第一次轉動指針從1區域到1區域的概率為\(\frac{1}{4}\)，第二次從1區域到1區域的概率為\(\frac{1}{4}\)，所以這種情況的概率為\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\) 。
根據期望公式\(E(X)=X_1P_1 + X_2P_2 + X_3P_3\)（其中\(X_i\)是取值，\(P_i\)是對應取值的概率），可得期望為：
\[
\begin{align*}
E(X)&=1\times\frac{3}{16}+2\times\frac{12}{16}+3\times\frac{1}{16}\\
&=\frac{3 + 24 + 3}{16}\\
&=\frac{30}{16}\\
&=\frac{15}{8}
\end{align*}
\]
