106指考數甲

1. **根據平面夾角公式列方程**：
- 平面\(ax + by + cz = 0\)的法向量\(\vec{n_1}=(a,b,c)\)，平面\(x = 0\)的法向量\(\vec{n_2}=(1,0,0)\)，平面\(x+\sqrt{3}y = 0\)的法向量\(\vec{n_3}=(1,\sqrt{3},0)\)。
- 根據兩平面夾角公式\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\vert}{\vert\vec{n_1}\vert\vert\vec{n_2}\vert}\)，平面\(ax + by + cz = 0\)與平面\(x = 0\)夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\cos60^{\circ}=\frac{\vert a×1 + b×0 + c×0\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}×\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}\)，即\(\frac{1}{2}=\frac{\vert a\vert}{\sqrt{12}}\)，可得\(\vert a\vert=\sqrt{3}\)，\(a^2 = 3\)。
- 平面\(ax + by + cz = 0\)與平面\(x+\sqrt{3}y = 0\)夾角為\(60^{\circ}\)，則\(\cos60^{\circ}=\frac{\vert a×1 + b×\sqrt{3}+ c×0\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}×\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2}}\)，即\(\frac{1}{2}=\frac{\vert a+\sqrt{3}b\vert}{\sqrt{12}×2}\)，把\(a^2 = 3\)代入，\(a=\pm\sqrt{3}\)。
- 當\(a=\sqrt{3}\)時，\(\frac{1}{2}=\frac{\vert\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert}{\sqrt{12}×2}\)，\(\vert\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert=\sqrt{3}\)，解得\(b = 0\)或\(b=-2\)。
- 當\(a = -\sqrt{3}\)時，\(\frac{1}{2}=\frac{\vert-\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert}{\sqrt{12}×2}\)，\(\vert-\sqrt{3}+\sqrt{3}b\vert=\sqrt{3}\)，解得\(b = 0\)或\(b = 2\)。
- 又因為\(a^2 + b^2 + c^2 = 12\)，\(a^2 = 3\)，所以\(b^2 + c^2 = 9\)。
- 把\(b = 0\)代入\(b^2 + c^2 = 9\)，得\(c^2 = 9\)；把\(b = \pm2\)代入\(b^2 + c^2 = 9\)，得\(c^2 = 5\)。
- 經檢驗，\(a^2 = 3\)，\(b^2 = 9\)，\(c^2 = 0\)或\(a^2 = 3\)，\(b^2 = 0\)，\(c^2 = 9\)不符合夾角條件，所以\(a^2 = 3\)，\(b^2 = 5\)，\(c^2 = 4\) 。
答案：(3,5,4) 報錯
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首先，設\(\overrightarrow{OP_1}=(x,y)\)，則\(\overrightarrow{OP_2}=A\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{OP_3}=A\overrightarrow{OP_2}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}4(4x - 3y)-3(3x + 4y)\\3(4x - 3y)+4(3x + 4y)\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}\)。
計算\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_3}\)：
\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_3}=x\cdot\frac{1}{25}(7x - 24y)+y\cdot\frac{1}{25}(24x + 7y)=\frac{1}{25}(7x^{2}-24xy + 24xy + 7y^{2})=\frac{7}{25}(x^{2}+y^{2})\)。
又\(\vert\overrightarrow{OP_1}\vert = a=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，\(\vert\overrightarrow{OP_3}\vert=\sqrt{(\frac{7x - 24y}{25})^{2}+(\frac{24x + 7y}{25})^{2}}=\sqrt{\frac{49x^{2}-336xy + 576y^{2}+576x^{2}+336xy + 49y^{2}}{625}}=\sqrt{\frac{625(x^{2}+y^{2})}{625}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} = a\)。
根據向量點積公式\(\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\vert\overrightarrow{OP_1}\vert\vert\overrightarrow{OP_3}\vert\cos\angle P_1OP_3\)，即\(\frac{7}{25}(x^{2}+y^{2})=a\cdot a\cdot\cos\angle P_1OP_3\)，可得\(\cos\angle P_1OP_3=\frac{7}{25}\)。
再根據\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)，可得\(\sin\angle P_1OP_3=\sqrt{1 - (\frac{7}{25})^{2}}=\frac{24}{25}\)。 報錯
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已知\(\overrightarrow{OP_1}=(x,y)\)，\(\overrightarrow{OP_2}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}\)，\(\overrightarrow{OP_3}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4x - 3y - 5x}{5}\\\frac{3x + 4y - 5y}{5}\end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-x - 3y\\3x - y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{P_1P_3}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{7x - 24y - 25x}{25}\\\frac{24x + 7y - 25y}{25}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}-18x - 24y\\24x - 18y\end{bmatrix}\)。
根據向量叉積求三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\vert\)，對於二維向量\(\overrightarrow{a}=(m,n)\)，\(\overrightarrow{b}=(p,q)\)，\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=mq - np\)。
\(\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}=\frac{1}{5}\times\frac{1}{25}[(-x - 3y)(24x - 18y)-(3x - y)(-18x - 24y)]\)。
展開得：
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{125}(-24x^{2}+18xy - 72xy + 54y^{2}+54x^{2}+72xy - 18xy - 24y^{2})\\
=&\frac{1}{125}(30x^{2}+30y^{2})\\
=&\frac{30}{125}(x^{2}+y^{2})
\end{align*}
\]
因為\(a=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，所以\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\vert=\frac{1}{2}\times\frac{30}{125}(x^{2}+y^{2})=\frac{3}{25}a^{2}\)。 報錯
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由(2)知\(\triangle P_1P_2P_3\)的面積\(S=\frac{3}{25}a^{2}\)，而\(a=\vert\overrightarrow{OP_1}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，又\(y=\frac{1}{10}x^{2}-10\)。
所以\(a^{2}=x^{2}+(\frac{1}{10}x^{2}-10)^{2}=x^{2}+\frac{1}{100}x^{4}-2x^{2}+100=\frac{1}{100}x^{4}-x^{2}+100\)。
令\(t = x^{2}(t\geq0)\)，則\(a^{2}=\frac{1}{100}t^{2}-t + 100\)。
對於二次函數\(y=\frac{1}{100}t^{2}-t + 100\)，其對稱軸為\(t =-\frac{-1}{2\times\frac{1}{100}} = 50\)。
所以當\(t = 50\)時，\(a^{2}\)取得最小值，\(a^{2}_{min}=\frac{1}{100}\times50^{2}-50 + 100=\frac{2500}{100}-50 + 100 = 75\)。
則\(\triangle P_1P_2P_3\)面積的最小可能值為\(S_{min}=\frac{3}{25}\times75 = 9\)。 報錯
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首先求正八邊形的面積。
把正八邊形分割成8個等腰三角形，每個等腰三角形的頂角為\(\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}\)，腰長為\(\sqrt{1 - h^{2}}\)（由\(\vert\overrightarrow{OP_j}\vert = 1\)，利用勾股定理得到圓的半徑）。
等腰三角形的面積\(S_{單個}=\frac{1}{2}r^2\sin\theta\)（\(r\)為腰長，\(\theta\)為頂角），所以每個等腰三角形面積\(S_{單個}=\frac{1}{2}(\sqrt{1 - h^{2}})^2\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}(1 - h^{2})}{4}\)。
則正八邊形的面積\(S = 8\times\frac{\sqrt{2}(1 - h^{2})}{4}=2\sqrt{2}(1 - h^{2})\)。
已知角錐體積\(V=\frac{1}{3}\)底面積×高，此正八角錐的高為\(h\)，底面積為正八邊形面積\(S = 2\sqrt{2}(1 - h^{2})\)。
所以\(V(h)=\frac{1}{3}\times2\sqrt{2}(1 - h^{2})h=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)。 報錯
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由(1)知\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}=2h^{2}-1\)，\(\overrightarrow{OP_0}\)和\(\overrightarrow{OP_4}\)夾角不超過\(90^{\circ}\)，則\(\overrightarrow{OP_0}\cdot\overrightarrow{OP_4}\geq0\)，即\(2h^{2}-1\geq0\)，解得\(h\geq\frac{\sqrt{2}}{2}\)（因為\(0≤h≤1\)，所以取\(h\)的取值範圍\(\frac{\sqrt{2}}{2}≤h≤1\)）。
由(2)知\(V(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)，對\(V(h)\)求導，\(V^\prime(h)=\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2})\)。
令\(V^\prime(h)=0\)，即\(\frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^{2}) = 0\)，解得\(h=\frac{\sqrt{3}}{3}\)或\(h = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)（舍去，因為\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)）。
在\(h\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]\)上分析\(V^\prime(h)\)的符號：
當\(\frac{\sqrt{2}}{2}\leq h\lt\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(V^\prime(h)>0\)，\(V(h)\)遞增；
當\(\frac{\sqrt{3}}{3}\lt h\leq1\)時，\(V^\prime(h)<0\)，\(V(h)\)遞減。 所以\(V(h)\)在\(h=\frac{\sqrt{2}}{2}\)或\(h = \frac{\sqrt{3}}{3}\)處取得最大值。 \(V(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{3}\)。 \(V(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9})=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 比較\(\frac{1}{3}\)和\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)的大小： \(\frac{1}{3}=\frac{9}{27}\)，\((\frac{9}{27})^2=\frac{81}{729}\)，\((\frac{4\sqrt{6}}{27})^2=\frac{96}{729}\)，所以\(\frac{4\sqrt{6}}{27}>\frac{1}{3}\)。
所以正八角錐體積\(V(h)\)的最大值為\(\frac{4\sqrt{6}}{27}\)。 報錯
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