〈109指考數甲〉彙整頁面

109指考數學甲試題-01

已知\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)，且\(a = 1-\cos^{2}\theta\)、\(b=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta\)、\(c=\frac{\tan\theta}{\tan^{2}\theta + 1}\)。關於\(a\)，\(b\)，\(c\)三個數值的大小，試選出正確的選項。
(1)\(a \lt b \lt c\)
(2)\(a \lt c \lt b\)
(3)\(b \lt a \lt c\)
(4)\(b \lt c \lt a\)
(5)\(c \lt a \lt b\)

答案

因為\(a = 1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta\)。 \(b=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta=\frac{1 - \cos^{2}\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\) ，由於\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)，\(\cos\theta\in(0,1)\)，所以\(b=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\gt\sin^{2}\theta=a\)。 \(c=\frac{\tan\theta}{\tan^{2}\theta + 1}=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+1}=\frac{\sin\theta\cos\theta}{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}=\sin\theta\cos\theta\) 。 \(b - c=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}-\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin^{2}\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin\theta(\sin\theta-\cos^{2}\theta)}{\cos\theta}\) ，\(\sin\theta-\cos^{2}\theta=\sin\theta-(1 - \sin^{2}\theta)=\sin^{2}\theta+\sin\theta - 1\) ，在\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)時，\(\sin\theta\gt\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin^{2}\theta+\sin\theta - 1\gt0\)，所以\(b\gt c\)。 \(c - a=\sin\theta\cos\theta-\sin^{2}\theta=\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)\) ，在\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)時，\(\cos\theta\lt\sin\theta\)，所以\(c - a\lt0\)，即\(c \lt a\)。所以\(c \lt a \lt b\)，答案為(5)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-02

有\(A\)，\(B\)兩個箱子，其中\(A\)箱有\(6\)顆白球與\(4\)顆紅球，\(B\)箱有\(8\)顆白球與\(2\)顆藍球。現有三種抽獎方式(各箱中每顆球被抽取的機率相同)：
(一)先在\(A\)箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從\(B\)箱中抽取一球；
(二)先在\(B\)箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從\(A\)箱中抽取一球；
(三)同時分別在\(A\)，\(B\)箱中各抽取一球。
給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得\(50\)元獎金；若只抽到藍球得\(100\)元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得\(100\)元獎金；若都沒抽到，則無獎金。將上列(一)、(二)、(三)這\(3\)種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為\(E_{1}\)、\(E_{2}\)、\(E_{3}\)，試選出正確的選項。
(1)\(E_{1}\gt E_{2}\gt E_{3}\)
(2)\(E_{1}=E_{2}\gt E_{3}\)
(3)\(E_{2}=E_{3}\gt E_{1}\)
(4)\(E_{1}=E_{3}\gt E_{2}\)
(5)\(E_{3}\gt E_{2}\gt E_{1}\)

答案

方式(一)：\(P\)（只抽到紅球）\(=\frac{4}{10}\)；\(P\)（先白後藍）\(=\frac{6}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{12}{100}\)；\(P\)（先白後非藍）\(=\frac{6}{10}\times\frac{8}{10}=\frac{48}{100}\) 。 \(E_{1}=50\times\frac{4}{10}+100\times\frac{12}{100}+0\times\frac{48}{100}=20 + 12=32\)。方式(二)：\(P\)（只抽到藍球）\(=\frac{2}{10}\)；\(P\)（先白後紅）\(=\frac{8}{10}\times\frac{4}{10}=\frac{32}{100}\)；\(P\)（先白後非紅）\(=\frac{8}{10}\times\frac{6}{10}=\frac{48}{100}\) 。 \(E_{2}=100\times\frac{2}{10}+50\times\frac{32}{100}+0\times\frac{48}{100}=20 + 16=36\)。方式(三)：\(P\)（只抽到紅球）\(=\frac{4}{10}\times\frac{8}{10}=\frac{32}{100}\)；\(P\)（只抽到藍球）\(=\frac{6}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{12}{100}\)；\(P\)（兩球都抽到）\(=\frac{4}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{8}{100}\)；\(P\)（都沒抽到）\(=\frac{6}{10}\times\frac{8}{10}=\frac{48}{100}\)。 \(E_{3}=50\times\frac{32}{100}+100\times(\frac{12}{100}+\frac{8}{100})+0\times\frac{48}{100}=16 + 20=36\)。所以\(E_{2}=E_{3}\gt E_{1}\)，答案為(3)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-03

若\(f(x)\)是一個三次多項式，且\(f(1)=1\)，\(f(2)=3\)，\(f(3)=5\)，\(f(4)=7\)，則\(f(0)\)的值為？
(1)\(-1\)
(2)\(0\)
(3)\(1\)
(4)\(2\)
(5)\(3\)

答案

設\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)，由已知可得\(\begin{cases}a + b + c + d = 1\\8a+4b + 2c + d = 3\\27a+9b + 3c + d = 5\\64a+16b + 4c + d = 7\end{cases}\)。用下面的方程依次減去上面的方程來消元： \(\begin{cases}7a + 3b + c = 2\\19a+5b + c = 2\\37a+7b + c = 2\end{cases}\)，再用後面的方程減去前面的方程： \(\begin{cases}12a+2b = 0\\18a+2b = 0\end{cases}\)，兩式相減得\(6a = 0\)，則\(a = 0\)。把\(a = 0\)代入\(12a+2b = 0\)得\(b = 0\)，把\(a = 0\)，\(b = 0\)代入\(7a + 3b + c = 2\)得\(c = 2\)，把\(a = 0\)，\(b = 0\)，\(c = 2\)代入\(a + b + c + d = 1\)得\(d=-1\)。所以\(f(x)=2x - 1\)，則\(f(0)=-1\)，答案為(1)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-04

已知\(z_{1}\)，\(z_{2}\)為兩個非零複數，且\(\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert\)，則\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)的實部為？
(1)\(0\)
(2)\(\frac{1}{2}\)
(3)\(1\)
(4)\(-\frac{1}{2}\)
(5)\(-1\)

答案

已知\(\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert\)，兩邊平方得\((z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}+z_{2}})=(z_{1}-z_{2})(\overline{z_{1}-z_{2}})\)。即\((z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}})=(z_{1}-z_{2})(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}})\)。展開得\(z_{1}\overline{z_{1}}+z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}=z_{1}\overline{z_{1}}-z_{1}\overline{z_{2}}-z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}\)。化簡得\(z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}=0\)。設\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=x+yi\)（\(x,y\in R\)），則\(z_{1}=(x + yi)z_{2}\)，代入\(z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}=0\)得： \((x + yi)z_{2}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{(x + yi)z_{2}}=0\)，\((x + yi)\vert z_{2}\vert^{2}+z_{2}\overline{z_{2}}(x - yi)=0\)，\(2x\vert z_{2}\vert^{2}=0\)。因為\(z_{2}\neq0\)，所以\(x = 0\)，即\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)的實部為\(0\)，答案為(1)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-05

在平面直角坐標系中，已知橢圓\(E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)\)的左右焦點分別為\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，過\(F_{1}\)且斜率為\(\sqrt{3}\)的直線與橢圓\(E\)相交於\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2\vert AB\vert\)，則橢圓\(E\)的離心率為？
(1)\(\frac{1}{3}\)
(2)\(\frac{1}{2}\)
(3)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(4)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(5)\(\frac{2}{3}\)

答案

根據橢圓的定義，\(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert = 2a\)，\(\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2a\)。所以\(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert = 4a\)，即\(\vert AB\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 4a\)。又因為\(\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2\vert AB\vert\)，所以\(3\vert AB\vert = 4a\)，\(\vert AB\vert=\frac{4a}{3}\)。設直線\(AB\)的方程為\(y=\sqrt{3}(x + c)\)（\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)），聯立\(\begin{cases}y=\sqrt{3}(x + c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}\)，消去\(y\)得： \(b^{2}x^{2}+a^{2}\times3(x + c)^{2}=a^{2}b^{2}\)，\(b^{2}x^{2}+3a^{2}(x^{2}+2cx + c^{2})=a^{2}b^{2}\)，\((b^{2}+3a^{2})x^{2}+6a^{2}cx+3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=0\)。設\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，由弦長公式\(\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)（\(k = \sqrt{3}\)）。 \(x_{1}+x_{2}=-\frac{6a^{2}c}{b^{2}+3a^{2}}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}\)。 \(\vert AB\vert=\sqrt{1 + 3}\cdot\sqrt{(-\frac{6a^{2}c}{b^{2}+3a^{2}})^{2}-4\times\frac{3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}}=\frac{4a}{3}\)。又\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，代入化簡可得\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\)，答案為(1)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-06

設\(F(x)\)、\(f(x)\)皆為實係數多項式函數。已知\(F'(x)=f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(a \geq0\)，則\(F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(t)dt\)
(2)若\(F(x)\)除以\(x\)的商式為\(Q(x)\)，則\(Q(0)=f(0)\)
(3)若\(f(x)\)可被\(x + 1\)整除，則\(F(x)-F(0)\)可被\((x + 1)^{2}\)整除
(4)若對所有實數\(x\)，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)都成立，則對所有實數\(x\)，\(f(x) \geq x\)也都成立
(5)若對所有\(x\gt0\)，\(f(x) \geq x\)都成立，則對所有\(x\gt0\)，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)也都成立

答案

(1)由微積分基本定理，若\(F'(x)=f(x)\)且\(f(x)\)在\([0,a]\)上連續，則\(F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(t)dt\)，所以(1)正確。 (2) 若\(F(x)=xQ(x)\)，則\(F'(x)=Q(x)+xQ'(x)\)，\(f(x)=Q(x)+xQ'(x)\)，\(f(0)=Q(0)\)，所以(2)正確。 (3) 若\(f(x)=(x + 1)g(x)\)，\(F(x)=\int f(x)dx=\int(x + 1)g(x)dx\)，令\(u=x + 1\)，\(F(x)=\int ug(u - 1)du\)，\(F(x)-F(0)=\int_{0}^{x} f(t)dt\)，不一定能被\((x + 1)^{2}\)整除，所以(3)錯誤。 (4) 若\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，\(F'(x)=f(x)\)，對\(F(x)-\frac{x^{2}}{2} \geq0\)求導得\(f(x)-x\)，但不能直接得出\(f(x) \geq x\)對所有實數\(x\)都成立，例如\(F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C(C\gt0)\)時，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，但\(f(x)=x\)，所以(4)錯誤。 (5) 若\(f(x) \geq x\)對所有\(x\gt0\)成立，\(F(x)-F(0)=\int_{0}^{x} f(t)dt \geq \int_{0}^{x} tdt=\frac{x^{2}}{2}\)，所以\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}+F(0)\)，當\(F(0) \geq0\)時，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，所以(5)正確。答案為(1)(2)(5)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-07

在複數平面上，設\(O\)為原點，且\(A\)、\(B\)分別表示坐標為複數\(z\)、\(z + 1\)的點。已知點\(A\)、點\(B\)都在以\(O\)為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。
(1)直線\(AB\)與實數軸平行
(2)\(\triangle OAB\)為直角三角形
(3)點\(A\)在第二象限
(4)\(z^{3}=1\)
(5)坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上

答案

已知\(\vert z\vert = 1\)，\(\vert z + 1\vert = 1\)，設\(z=x+yi\)，\(x,y\in R\)。由\(\vert z\vert = 1\)得\(x^{2}+y^{2}=1\)；由\(\vert z + 1\vert = 1\)得\((x + 1)^{2}+y^{2}=1\)，即\(x^{2}+2x + 1+y^{2}=1\)，把\(x^{2}+y^{2}=1\)代入得\(2x=-1\)，\(x=-\frac{1}{2}\)，\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。 (1) \(A(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(B(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，直線\(AB\)與實數軸平行，(1)正確。 (2) \(\overrightarrow{OA}=(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\neq0\)，\(\triangle OAB\)不是直角三角形，(2)錯誤。 (3) \(z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，點\(A\)可能在第二象限或第三象限，(3)錯誤。 (4) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)，(4)正確。 (5) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)，所以坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上，(5)正確。答案為(1)(4)(5)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題-08

設二階實係數方陣\(A\)代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足\(A^{3}=\begin{bmatrix}0& – 1\\ – 1&0\end{bmatrix}\)；另設二階實係數方陣\(B\)代表坐標平面的一個(以原點為中心的)旋轉變換且滿足\(B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& – 1\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項。
(1) \(A\)恰有三種可能
(2) \(B\)恰有三種可能
(3) \(AB = BA\)
(4) 二階方陣\(AB\)代表坐標平面的一個旋轉變換
(5) \(BABA=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)

答案

(1) 設\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，因為\(A\)是鏡射變換，\(A^{2}=I\)（單位矩陣），又\(A^{3}=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}\)，可得\(A=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}A^{-1}\)，而\(A^{-1}=A\)（鏡射變換性質），解方程組可得\(A\)有兩種可能，(1)錯誤。 (2) 設\(B=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)，由\(B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}\)，即\(\begin{bmatrix}\cos3\theta&-\sin3\theta\\\sin3\theta&\cos3\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}\)，\(3\theta=(2k + 1)\pi,k\in Z\)，\(\theta=\frac{(2k + 1)\pi}{3},k = 0,1,2\)，所以\(B\)恰有三種可能，(2)正確。 (3) 取\(A\)、\(B\)的具體矩陣計算，\(AB\neq BA\)，(3)錯誤。 (4) 因為\(A\)是鏡射變換，\(B\)是旋轉變換，\(AB\)不是旋轉變換，(4)錯誤。 (5) \(BABA=(BA)^{2}\)，計算可得\((BA)^{2}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)，(5)正確。答案為(2)(5)。 ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題–A

在坐標空間中，設\(O\)為原點，且點\(P\)為三平面\(x – 3y – 5z = 0\)、\(x – 3y + 2z = 0\)、\(x + y = t\)的交點，其中\(t\gt0\)。若\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 10\)，則\(t=\underline{ (9) }\sqrt{ (10)(11) }\)。(化成最簡根式)

答案

先求平面\(x - 3y - 5z = 0\)與\(x - 3y + 2z = 0\)的交線方程，兩式相減得\(-7z = 0\)，即\(z = 0\)，代入\(x - 3y - 5z = 0\)得\(x = 3y\)。再將\(x = 3y\)，\(z = 0\)代入\(x + y = t\)，得\(3y + y = t\)，\(4y = t\)，\(y=\frac{t}{4}\)，\(x=\frac{3t}{4}\)。所以點\(P\)的坐標為\((\frac{3t}{4},\frac{t}{4},0)\)。由\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 10\)，\(\sqrt{(\frac{3t}{4})^{2}+(\frac{t}{4})^{2}+0^{2}} = 10\)，\(\sqrt{\frac{9t^{2}+t^{2}}{16}} = 10\)，\(\sqrt{\frac{10t^{2}}{16}} = 10\)，\(\frac{\sqrt{10}}{4}\vert t\vert = 10\)，因為\(t\gt0\)，所以\(t = 4\sqrt{10}\) 。（原題答案格式中的空缺部分需按正確答案\(4\sqrt{10}\)對應填寫，即\(t = 4\sqrt{10}\)，\(4\)填在(9)，\(10\)填在(10)，(11)無值） ChatGPT DeepSeek

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109指考數學甲試題–B

考慮坐標平面上相異三點\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中點\(A\)為\((1,1)\)。分別以線段\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)為直徑作圓，此兩圓交於點\(A\)及點\(P(4,2)\)。已知\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)且點\(B\)在第四象限，則點\(B\)的坐標為

答案

設\(B(x,y)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)。因為\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)，所以\((x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=90\) ①。又因為\(\angle APB = 90^{\circ}\)（圓直徑所對圓周角為直角），\(\overrightarrow{AP}=(3,1)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)，\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=3(x - 4)+(y - 2)=0\)，即\(3x + y = 14\)，\(y = 14 - 3x\) ②。把②代入①得：\((x - 4)^{2}+(14 - 3x - 2)^{2}=90\)，\((x - 4)^{2}+(12 - 3x)^{2}=90\)，\(x^{2}-8x + 16+144 - 72x + 9x^{2}=90\)，\(10x^{2}-80x + 70 = 0\)，\(x^{2}-8x + 7 = 0\)，\((x - 1)(x - 7)=0\)，解得\(x = 1\)（捨去，與\(A\)點重合）或\(x = 7\)。把\(x = 7\)代入\(y = 14 - 3x\)得\(y=-7\)。所以點\(B\)的坐標為\((7,-7)\)。 ChatGPT DeepSeek

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