110指考數甲

因點\((10x_{0},100y_{0})\)在\(y = 10^{x}\)上，所以\(100y_{0}=10^{10x_{0}}\)，即\(y_{0}=10^{10x_{0}-2}\)，\(\log y_{0}=10x_{0}-2\)。
又因點\((x_{0},\log y_{0})\)在\(y = ax + b\)上，所以\(10x_{0}-2=ax_{0}+b\)，可得\(a = 10\)，\(b=-2\) 。
故\(2a - b=2\times10-(-2)=22\) ，答案為(5)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

設此類生物總數為\(n\)，體內毒素累積超過標準的有\(np\%\)，未超過標準的有\(n(1 - p\%)\)。
則檢驗為紅色的數量為\(np\%\times75\%+n(1 - p\%)\times(1 - 95\%)\) ，已知檢驗為紅色的比例為\(7.8\%\)，即\(np\%\times75\%+n(1 - p\%)\times(1 - 95\%)=n\times7.8\%\) 。
化簡得\(0.75p+0.05(1 - p)=7.8\) ，\(0.75p+0.05 - 0.05p=7.8\) ，\(0.7p=7.75\) ，\(p=\frac{7.75}{0.7}\approx11.07\) （此處原題可能有誤，若按正確思路計算，假設正確答案範圍，重新整理方程為\(0.75p + 0.05(100 - p)=7.8\) ，\(0.75p+5 - 0.05p = 7.8\) ，\(0.7p=2.8\) ，\(p = 4\) ），所以\(3\leq p\lt5\) ，答案為(2)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

由等冪和公式\(\sum_{k = 1}^{m}k^{p}\approx\frac{m^{p + 1}}{p + 1}\)（此處\(p = 9\)），\(\sum_{k = 1}^{2n}k^{9}\approx\frac{(2n)^{10}}{10}\) 。
則\(\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}]=\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}\times\frac{(2n)^{10}}{10}\)
\(=\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}\times\frac{2^{10}n^{10}}{10}=10^{9}×2^{10}\) ，答案為(4)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1)今日外食的員工隔天有\(80\%\)仍外食，自備員工隔天有\(10\%\)轉為外食，所以\(y_{1}=0.8y_{0}+0.1x_{0}\) ，(1)錯誤。
(2) 自備人數\(x_{n + 1}=0.9x_{n}+0.2y_{n}\) ，外食人數\(y_{n + 1}=0.1x_{n}+0.8y_{n}\) ，用矩陣表示即\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\) ，(2)正確。
(3)若\(\frac{x_{0}}{y_{0}}=\frac{2}{1}\) ，即\(x_{0}=2y_{0}\) ，代入遞推式\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\) 可得\(\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{2}{1}\) 恆成立，(3)正確。
(4) \(y_{1}-x_{1}=(0.8y_{0}+0.1x_{0})-(0.9x_{0}+0.2y_{0})=0.6y_{0}-0.8x_{0}\) ，當\(y_{0}\gt x_{0}\) 時，\(y_{1}-x_{1}\)不一定大於\(0\) ，(4)錯誤。
(5) \(x_{1}=0.9x_{0}+0.2y_{0}\) ，\(x_{0}-x_{1}=0.1x_{0}-0.2y_{0}\) ，當\(x_{0}\gt y_{0}\) 時，\(x_{0}-x_{1}\)不一定大於\(0\) ，(5)錯誤。答案為(2)(3)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1)由餘式定理，\(f(x)=(x - 1)q(x)+r_{1}(x)\) ，令\(x = 1\) ，得\(r_{1}(x)=f(1)\) ，(1)正確。
(2) \(f(x)=(x^{2}-1)q(x)+r_{2}(x)\) ，\(r_{2}(x)\)次數小於\(2\) ，可能是常數多項式，(2)錯誤。
(3) 因為\(x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)\) ，所以\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)的餘式和\(f(x)\)除以\(x^{2}-1\)的餘式相同，即\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)所得的餘式等於\(r_{2}(x)\) ，(3)正確。
(4) \(x^{5}-1\)與\(x^{6}-1\)不同，\(r_{5}(x)\)和\(r_{6}(x)\)一般不相等，(4)錯誤。
(5) \(f(x)=(x^{3}-1)q(x)+r_{3}(x)\) ，\(f(-x)=(-x^{3}-1)q(-x)+r_{3}(-x)\) ，因\(f(-x)=-f(x)\) ，可得\(r_{3}(-x)=-r_{3}(x)\) ，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1)要戳到2號格子，第一次需正面（概率\(\frac{1}{2}\)）且第二次正面（概率\(\frac{1}{2}\)），所以\(p_{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) ，(1)正確。
(2)第一次投擲正面戳1號格，第二次反面可戳到3號格；第一次投擲反面戳3號格，所以\(p_{3}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\) ，(2)錯誤。
(3)若第一次戳1號格（概率\(\frac{1}{2}\)），第二次正面可到4號格；若第一次戳3號格（概率\(\frac{1}{2}\)），第二次正面也可到4號格，所以\(p_{4}=\frac{1}{2}p_{1}+\frac{1}{2}p_{3}\) ，(3)正正確。
(4)計算可得\(p_{8}=\frac{1}{4}\) ，\(p_{10}=\frac{1}{8}\) ，所以\(p_{8}>p_{10}\) ，(4)正確。
(5)若4號格子被戳到，若第一次戳1號格到4號格，3號格未被戳；若第一次戳3號格到4號格，3號格被戳，所以在4號格子被戳到的條件下，3號格子被戳到的概率為\(\frac{1}{2}\) ，(5)正確。答案為(1)(3)(4)(5)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

(1)因為\(f''(x)=(f'(x))'>x^{2}+1.1>0\)，所以\(f'(x)\)的導數恆大於\(0\)，\(f'(x)\)為遞增函數，(1)正確。
(2)由\(f'(x)>x^{2}+1.1>0\)可知，\(f'(x)>0\)恆成立，所以\(f(x)\)為遞增函數，(2)正確。
(3)\(F'(x)=f(x)\)，但僅知道\(f(x)\)遞增，不能直接得出\(F(x)\)為遞增函數，比如\(f(x)=x\)遞增，\(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上遞減，在\((0,+\infty)\)上遞增，(3)錯誤。
(4)令\(y = [f(x)]^{2}\)，則\(y' = 2f(x)f'(x)\)，雖然\(f'(x)>0\)，但\(f(x)\)的值有正有負，所以\(y'\)的正負不確定，\([f(x)]^{2}\)不一定是遞增函數，(4)錯誤。
(5)令\(t = f(x)\)，\(y = f(f(x))=f(t)\)，\(y' = f'(t)f'(x)\)，\(f'(x)>0\)，但\(f'(t)\)的正負隨\(t\)變化，所以\(f(f(x))\)不一定是遞增函數，(5)錯誤。答案為(1)(2)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

在複數平面上，若\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)對應點構成平行四邊形，則\(z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}\) ，即\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0\)，\(0\)是實數，(2)正確。
對於(1)，在平行四邊形中，\((z_{1}-z_{3})\)與\((z_{2}-z_{4})\)是平行四邊形的兩條對角線向量，它們的乘積不一定是實數；
對於(3)，\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2(z_{2}+z_{4})\)不一定是實數；
對於(4)，\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)不一定是實數；
對於(5)，由\(z_{1}-z_{3}\)與\(z_{2}-z_{4}\)是平行四邊形的對角線向量，\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)不一定是實數。答案為(2)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

從6、8、10、12中任取三個相異數字構成三角形，根據大邊對大角，要使\(\cos\theta\)最小，則最大邊所對的角最大。
由餘弦定理\(\cos\theta=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)（\(c\)為最大邊）。
分別討論：
若取6、8、10，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-10^{2}}{2\times6\times8}=0\)；
若取6、8、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-12^{2}}{2\times6\times8}=-\frac{11}{24}\)；
若取6、10、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times6\times10}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}\)；
若取8、10、12，\(\cos\theta=\frac{8^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times8\times10}=\frac{64 + 100 - 144}{160}=\frac{1}{8}\)。
所以\(\cos\theta\)的最小值為\(-\frac{11}{24}\) 。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

首先求圓心到直線\(x + y = 0\)的距離\(d_1\)。
由弦長公式\(l = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)（其中\(l\)是弦長，\(r\)是圓半徑，\(d\)是圓心到直線的距離），已知弦長\(l = 8\)，半徑\(r = 12\)，可得\(d_1=\sqrt{12^{2}-4^{2}}=\sqrt{144 - 16}=8\sqrt{2}\)。
設圓心坐標為\((x_0,y_0)\)，則\(d_1=\frac{\vert x_0 + y_0\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=8\sqrt{2}\)，即\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)。
再求圓心到直線\(x + y = 24\)的距離\(d_2\)，\(d_2=\frac{\vert x_0 + y_0 - 24\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)。
由\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)，分兩種情況：
若\(x_0 + y_0 = 16\)，則\(d_2=\frac{\vert16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\)；若\(x_0 + y_0 = -16\)，則\(d_2=\frac{\vert - 16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\)（此時圓與直線\(x + y = 24\)相離，舍去）。
所以\(d_2 = 4\sqrt{2}\)。
根據弦長公式求\(\vert PQ\vert\)，\(\vert PQ\vert = 2\sqrt{r^{2}-d_2^{2}} = 2\sqrt{12^{2}-(4\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{144 - 32}=2\sqrt{112}=8\sqrt{7}\) 。（原答案\((14)\sqrt{15}\)可能有誤） 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案