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03-113分科測驗數學甲試題11

設實數 \( a_{1},a_{2},\cdots,a_{9} \) 是公差為 \( 2 \) 的等差數列 ,其中 \( a_{1}\neq0\) 且 \( a_{3}>0\)。若 \(\log_{2}a_{3},\log_{2}b,\log_{2}a_{9}\) 三數依序也成等差數列 ,其中 \( b \) 為 \( a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8} \) 其中一數,則 \(a_9 =\)__________ 。

答案

已知\(\{a_n\}\)是公差\(d = 2\)的等差數列，則\(a_n = a_1 + 2(n - 1)\)。由\(\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9\)成等差數列，得\(2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9\)，即\(b^2 = a_3 a_9\)。計算\(a_3 = a_1 + 4\)，\(a_9 = a_1 + 16\)，代入\(b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)。因b為\(a_4, a_5, a_6, a_7, a_8\)之一，逐一驗證：若\(b = a_4 = a_1 + 6\)，則\((a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)，展開得：\(a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}\)
此時\(a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0\)，符合條件。因此，\(a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{25}{2}}\) 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題12

坐標空間中,考慮三個平面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相交的直線為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相交的直線為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相交的直線為 \( L_{2}\) 。已知三直線 \( L_{1}\) 、\(L_{2}\) 、\(L_{3}\) 有共同交點,試求此共同交點 \( P \) 的坐標。

答案

聯立 \(\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}\),兩式相減得 \(2y = 4\),\(y = 2\)。再聯立 \(\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}\),兩式相加得 \(2(x - y)= - 2\),把 \(y = 2\) 代入得 \(x = 3\),再把 \(x = 3\),\(y = 2\) 代入 \(x + y + z = 7\) 得 \(z = 2\),所以交點 \(P\) 的坐標為 \((3,2,2)\)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題13

坐標空間中,考慮三個平面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相交的直線為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相交的直線為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相交的直線為 \( L_{2}\) 。試說明 \( L_{1}\) 、 \( L_{2}\) 、 \( L_{3}\) 中,任兩直線所夾的銳角皆為 \( 60^{\circ}\) 。

答案

先求各直線方向向量,平面 \(E_{1}\) 法向量 \(\vec{n}_{1}=(1,1,1)\),\(E_{2}\) 法向量 \(\vec{n}_{2}=(1,- 1,1)\),\(E_{3}\) 法向量 \(\vec{n}_{3}=(1,- 1,- 1)\) 。 \(L_{1}\) 方向向量 \(\vec{v}_{1}=\vec{n}_{2}\times\vec{n}_{3}=(2,2,0)\),\(L_{2}\) 方向向量 \(\vec{v}_{2}=\vec{n}_{3}\times\vec{n}_{1}=(0,2,2)\),\(L_{3}\) 方向向量 \(\vec{v}_{3}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=(2,0,- 2)\) 。任取兩個方向向量,如 \(\vec{v}_{1}\) 與 \(\vec{v}_{2}\),\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}\vert}{\vert\vec{v}_{1}\vert\vert\vec{v}_{2}\vert}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\),所以夾角為 \(60^{\circ}\),同理可證其他兩兩夾角也為 \(60^{\circ}\)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題14

坐標空間中,考慮三個平面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。
令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相交的直線為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相交的直線為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相交的直線為 \( L_{2}\) 。
若坐標空間中第四個平面 \( E_{4}\) 與 \( E_{1}\) 、 \( E_{2}\) 、 \( E_{3}\) 圍出一個邊長為 \( 6\) 的正四面體,試求出 \( E_{4}\) 的方程式（寫成 \( x + ay + bz = c\) 的形式）。

答案

先求出平面 \(E_{1}\) 、 \(E_{2}\) 、 \(E_{3}\) 交點 \(P(3,2,2)\) 。正四面體中,點 \(P\) 到平面 \(E_{4}\) 的距離 \(d = \sqrt{6^{2}-(2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{6}\) 。設平面 \(E_{4}\) 法向量 \(\vec{n}=(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,1)且(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,-1)\),可以算出a,b\\
再利用點到平面距離公式 \(d=\frac{\vert3 + 2a + 2b - c\vert}{\sqrt{1 + a^{2}+b^{2}}}=\overset{6\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}}\) ,可得c\\平面 \(E_{4}\) 的方程為 \(x + y - z = 3\) 。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題15

坐標平面上,設 \( \Gamma \) 為三次函數 \( f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4\) 的函數圖形。試問下列何者為 \( f (x) \) 的導函數？
(1) \(x^{2}-9x + 15\)
(2) \(3x^{3}-18x^{2}+15x – 4\)
(3) \(3x^{3}-18x^{2}+15x\)
(4) \(3x^{2}-18x + 15\)
(5) \(x^{2}-18x + 15\)

答案

根據求導公式 \((x^{n})^\prime=nx^{n - 1}\),對 \(f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x - 4\) 求導,可得 \(f^\prime(x)=3x^{2}-18x + 15\),答案是(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題16

坐標平面上,設 \( \Gamma \) 為三次函數 \( f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4\) 的函數圖形。試說明 \( P(1,3)\) 為 \( \Gamma \) 上之一點,並求 \( \Gamma \) 在 \( P\) 點的切線 \( L\) 的方程式。

答案

切線方程求解驗證\(P(1,3)\)在\(\Gamma\)上：
代入\(x = 1\)，\(f(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 4 = 3\)，故\(P(1,3)\)在\(\Gamma\)上。求切線方程：\(f'(x) = 3x^2 - 18x + 15\)，\(f'(1) = 3 - 18 + 15 = 0\)。
由點斜式，切線L的方程為\(y - 3 = 0 \cdot (x - 1)\)，即\(y = 3\)。報錯
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