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數學指考分科-甲

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109指考數學甲試題-06

設\(F(x)\)、\(f(x)\)皆為實係數多項式函數。已知\(F'(x)=f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(a \geq0\)，則\(F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(t)dt\)
(2)若\(F(x)\)除以\(x\)的商式為\(Q(x)\)，則\(Q(0)=f(0)\)
(3)若\(f(x)\)可被\(x + 1\)整除，則\(F(x)-F(0)\)可被\((x + 1)^{2}\)整除
(4)若對所有實數\(x\)，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)都成立，則對所有實數\(x\)，\(f(x) \geq x\)也都成立
(5)若對所有\(x\gt0\)，\(f(x) \geq x\)都成立，則對所有\(x\gt0\)，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)也都成立

[多選題]
答案
(1)由微積分基本定理，若\(F'(x)=f(x)\)且\(f(x)\)在\([0,a]\)上連續，則\(F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(t)dt\)，所以(1)正確。 (2) 若\(F(x)=xQ(x)\)，則\(F'(x)=Q(x)+xQ'(x)\)，\(f(x)=Q(x)+xQ'(x)\)，\(f(0)=Q(0)\)，所以(2)正確。 (3) 若\(f(x)=(x + 1)g(x)\)，\(F(x)=\int f(x)dx=\int(x + 1)g(x)dx\)，令\(u=x + 1\)，\(F(x)=\int ug(u - 1)du\)，\(F(x)-F(0)=\int_{0}^{x} f(t)dt\)，不一定能被\((x + 1)^{2}\)整除 ，所以(3)錯誤。 (4) 若\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，\(F'(x)=f(x)\)，對\(F(x)-\frac{x^{2}}{2} \geq0\)求導得\(f(x)-x\)，但不能直接得出\(f(x) \geq x\)對所有實數\(x\)都成立，例如\(F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C(C\gt0)\)時，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，但\(f(x)=x\)，所以(4)錯誤。 (5) 若\(f(x) \geq x\)對所有\(x\gt0\)成立，\(F(x)-F(0)=\int_{0}^{x} f(t)dt \geq \int_{0}^{x} tdt=\frac{x^{2}}{2}\)，所以\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}+F(0)\)，當\(F(0) \geq0\)時，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，所以(5)正確。答案為(1)(2)(5)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-07

在複數平面上，設\(O\)為原點，且\(A\)、\(B\)分別表示坐標為複數\(z\)、\(z + 1\)的點。已知點\(A\)、點\(B\)都在以\(O\)為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。
(1)直線\(AB\)與實數軸平行
(2)\(\triangle OAB\)為直角三角形
(3)點\(A\)在第二象限
(4)\(z^{3}=1\)
(5)坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上

[多選題]
答案
已知\(\vert z\vert = 1\)，\(\vert z + 1\vert = 1\)，設\(z=x+yi\)，\(x,y\in R\)。 由\(\vert z\vert = 1\)得\(x^{2}+y^{2}=1\)；由\(\vert z + 1\vert = 1\)得\((x + 1)^{2}+y^{2}=1\)，即\(x^{2}+2x + 1+y^{2}=1\)，把\(x^{2}+y^{2}=1\)代入得\(2x=-1\)，\(x=-\frac{1}{2}\)，\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。 (1) \(A(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(B(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，直線\(AB\)與實數軸平行，(1)正確。 (2) \(\overrightarrow{OA}=(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\neq0\)，\(\triangle OAB\)不是直角三角形，(2)錯誤。 (3) \(z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，點\(A\)可能在第二象限或第三象限，(3)錯誤。 (4) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)，(4)正確。 (5) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)，所以坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上，(5)正確。答案為(1)(4)(5)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-08

設二階實係數方陣\(A\)代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足\(A^{3}=\begin{bmatrix}0& – 1\\ – 1&0\end{bmatrix}\)；另設二階實係數方陣\(B\)代表坐標平面的一個(以原點為中心的)旋轉變換且滿足\(B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& – 1\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項。
(1) \(A\)恰有三種可能
(2) \(B\)恰有三種可能
(3) \(AB = BA\)
(4) 二階方陣\(AB\)代表坐標平面的一個旋轉變換
(5) \(BABA=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)

[多選題]
答案
(1) 設\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，因為\(A\)是鏡射變換，\(A^{2}=I\)（單位矩陣），又\(A^{3}=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}\)，可得\(A=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}A^{-1}\)，而\(A^{-1}=A\)（鏡射變換性質），解方程組可得\(A\)有兩種可能，(1)錯誤。 (2) 設\(B=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\)，由\(B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}\)，即\(\begin{bmatrix}\cos3\theta&-\sin3\theta\\\sin3\theta&\cos3\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}\)，\(3\theta=(2k + 1)\pi,k\in Z\)，\(\theta=\frac{(2k + 1)\pi}{3},k = 0,1,2\)，所以\(B\)恰有三種可能，(2)正確。 (3) 取\(A\)、\(B\)的具體矩陣計算，\(AB\neq BA\)，(3)錯誤。 (4) 因為\(A\)是鏡射變換，\(B\)是旋轉變換，\(AB\)不是旋轉變換，(4)錯誤。 (5) \(BABA=(BA)^{2}\)，計算可得\((BA)^{2}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)，(5)正確。答案為(2)(5)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題–A

在坐標空間中，設\(O\)為原點，且點\(P\)為三平面\(x – 3y – 5z = 0\)、\(x – 3y + 2z = 0\)、\(x + y = t\)的交點，其中\(t\gt0\)。若\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 10\)，則\(t=\underline{ (9) }\sqrt{ (10)(11) }\)。(化成最簡根式)

[選填題]
答案
先求平面\(x - 3y - 5z = 0\)與\(x - 3y + 2z = 0\)的交線方程，兩式相減得\(-7z = 0\)，即\(z = 0\)，代入\(x - 3y - 5z = 0\)得\(x = 3y\)。 再將\(x = 3y\)，\(z = 0\)代入\(x + y = t\)，得\(3y + y = t\)，\(4y = t\)，\(y=\frac{t}{4}\)，\(x=\frac{3t}{4}\)。 所以點\(P\)的坐標為\((\frac{3t}{4},\frac{t}{4},0)\)。 由\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 10\)，\(\sqrt{(\frac{3t}{4})^{2}+(\frac{t}{4})^{2}+0^{2}} = 10\)，\(\sqrt{\frac{9t^{2}+t^{2}}{16}} = 10\)，\(\sqrt{\frac{10t^{2}}{16}} = 10\)，\(\frac{\sqrt{10}}{4}\vert t\vert = 10\)，因為\(t\gt0\)，所以\(t = 4\sqrt{10}\) 。（原題答案格式中的空缺部分需按正確答案\(4\sqrt{10}\)對應填寫，即\(t = 4\sqrt{10}\)，\(4\)填在(9)，\(10\)填在(10)，(11)無值 ） 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題–B

考慮坐標平面上相異三點\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中點\(A\)為\((1,1)\)。分別以線段\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)為直徑作圓，此兩圓交於點\(A\)及點\(P(4,2)\)。已知\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)且點\(B\)在第四象限，則點\(B\)的坐標為

[選填題]
答案
設\(B(x,y)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)。 因為\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)，所以\((x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=90\) ①。 又因為\(\angle APB = 90^{\circ}\)（圓直徑所對圓周角為直角），\(\overrightarrow{AP}=(3,1)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)，\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=3(x - 4)+(y - 2)=0\)，即\(3x + y = 14\)，\(y = 14 - 3x\) ②。 把②代入①得：\((x - 4)^{2}+(14 - 3x - 2)^{2}=90\)，\((x - 4)^{2}+(12 - 3x)^{2}=90\)，\(x^{2}-8x + 16+144 - 72x + 9x^{2}=90\)，\(10x^{2}-80x + 70 = 0\)，\(x^{2}-8x + 7 = 0\)，\((x - 1)(x - 7)=0\)，解得\(x = 1\)（捨去，與\(A\)點重合）或\(x = 7\)。 把\(x = 7\)代入\(y = 14 - 3x\)得\(y=-7\)。所以點\(B\)的坐標為\((7,-7)\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題–C

有一個三角形公園，其三頂點為\(O\)、\(A\)、\(B\)，在頂點\(O\)處有一座150公尺高的觀景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點\(A\)、\(B\)與\(\overline{AB}\)的中點\(C\)，測得其俯角分別為30°、60°、45°。則此三角形公園的面積為 (化成最簡根式) 平方公尺。

[選填題]
答案
設觀景台頂點為\(O\)，\(OA = x\)，\(OB = y\)，\(OC = z\)。 由俯角的定義及正切函數可得：\(\tan30^{\circ}=\frac{150}{x}\)，則\(x = 150\sqrt{3}\)；\(\tan60^{\circ}=\frac{150}{y}\)，則\(y = 50\sqrt{3}\)；\(\tan45^{\circ}=\frac{150}{z}\)，則\(z = 150\)。 因為\(C\)是\(\overline{AB}\)的中點，根據向量知識或中線定理，在\(\triangle OAB\)中，由餘弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2\cdot OA\cdot OB}\)，且\(AB = 2z\)（中線性質）。 先求\(\cos\angle AOB\)，在\(\triangle OAC\)和\(\triangle OBC\)中，再用餘弦定理表示出\(AC^{2}=OA^{2}+OC^{2}-2\cdot OA\cdot OC\cdot\cos\angle AOC\)，\(BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot\cos\angle BOC\)，又\(AC = BC = z\)。 由\(AC = BC\)可求出\(\cos\angle AOB = -\frac{1}{2}\)。 三角形公園\(\triangle OAB\)的面積\(S=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot\sin\angle AOB=\frac{1}{2}\times150\sqrt{3}\times50\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5625\sqrt{3}\)平方公尺。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-1)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，設\(y = f(x)\)的圖形在點\(D\)的切線方程式為\(y = ax + b\)，其中\(a\)，\(b\)為實數。求\(a\)，\(b\)之值。(2分)

[非選擇題]
答案
首先，根據貝茲曲線的性質，在點\(D(4,0)\)的切線斜率\(a\)等於函數\(y = f(x)\)在\(x = 4\)處的導數。 由於在點\(D\)的切線通過點\(C(3,2)\)，根據直線斜率公式\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)，可得切線斜率\(a=\frac{0 - 2}{4 - 3}=-2\)。 把\(D(4,0)\)代入切線方程\(y = -2x + b\)，可得\(0=-2\times4 + b\)，解得\(b = 8\)。 所以\(a=-2\)，\(b = 8\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-2)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，試證明多項式\(f(x)\)可以被\(x^{2}-4x\)所整除。(2分)

[非選擇題]
答案
因為\(f(x)\)是次數不超過3的多項式，且\(f(x)\)圖形通過\(A(0,0)\)和\(D(4,0)\)，所以\(f(0)=0\)，\(f(4)=0\)。 即\(x = 0\)和\(x = 4\)是\(f(x)\)的兩個根，根據多項式因式分解的性質，若\(x_1\)，\(x_2\)是多項式\(f(x)\)的根，則\((x - x_1)(x - x_2)\)是\(f(x)\)的一個因式。 所以\(x(x - 4)=x^{2}-4x\)是\(f(x)\)的一個因式，即多項式\(f(x)\)可以被\(x^{2}-4x\)所整除。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-3)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，試求\(f(x)\) 。(4分)

[非選擇題]
答案
由(2)知\(f(x)=x(x - 4)(mx + n)\)。 \(f(x)\)在\(x = 0\)處切線斜率可由在點\(A\)的切線通過點\(B(1,4)\)求得，\(f(x)\)在\(x = 0\)處切線斜率\(k_{AB}=\frac{4 - 0}{1 - 0}=4\)。 對\(f(x)=x(x - 4)(mx + n)=mx^{3}+(n - 4m)x^{2}-4nx\)求導得\(f'(x)=3mx^{2}+2(n - 4m)x - 4n\)，\(f'(0)=-4n\)，由\(f'(0)=4\)得\(n=-1\)。 又\(f(x)\)在\(x = 4\)處切線斜率\(a=-2\)（由(1)知），\(f'(4)=3m\times4^{2}+2(n - 4m)\times4 - 4n=-2\)，把\(n = -1\)代入得：\(48m+8(n - 4m)-4n=-2\)，即\(48m + 8(-1 - 4m)+4=-2\)， \(48m-8 - 32m + 4=-2\)，\(16m=2\)，解得\(m=\frac{1}{8}\)。 所以\(f(x)=\frac{1}{8}x(x - 4)(x - 2)=\frac{1}{8}(x^{3}-6x^{2}+8x)\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-4)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，求定積分\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx\) 。(4分)

[非選擇題]
答案
由(3)知\(f(x)=\frac{1}{8}(x^{3}-6x^{2}+8x)\)，則\(8f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\)。 令\(g(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\)，對\(g(x)\)求導得\(g'(x)=3x^{2}-12x + 8\)，令\(g'(x)=0\)，解得\(x = 2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。 在區間\([2,6]\)上，\(g(x)\)在\([2,4]\)上非負，在\([4,6]\)上非正。 \(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx=\int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx-\int_{4}^{6}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx\)。 \(\int(x^{3}-6x^{2}+8x)dx=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+C\)。 \(\int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx = (\frac{1}{4}\times4^{4}-2\times4^{3}+4\times4^{2})-(\frac{1}{4}\times2^{4}-2\times2^{3}+4\times2^{2})=16 - 0 = 16\)。 \(\int_{4}^{6}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx = (\frac{1}{4}\times6^{4}-2\times6^{3}+4\times6^{2})-(\frac{1}{4}\times4^{4}-2\times4^{3}+4\times4^{2})=(324 - 432 + 144)-(16 - 32 + 16)=36 - 16 = 20\)。 所以\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx=16-(-20)=36\) 。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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