〈數學指考分科-甲〉彙整頁面 - 第 15 頁，總計 19 頁

110指考數學甲試題-3)

坐標平面上，以$\Gamma$表示多項式函數$y=x^{3}-4x^{2}+5x$的圖形，且以$L$表示直線$y = mx$，其中$m$為實數。在$x\geq0$的範圍內，若$\Gamma$與$L$有三個相異交點，則滿足此條件的$m$之最大範圍為$a\lt m\lt b$，試求$a\cdot b$之值。(6分)

[非選擇]

答案

令$x^{3}-4x^{2}+5x = mx$（$x\geq0$），移項得$x^{3}-4x^{2}+(5 - m)x = 0$，$x(x^{2}-4x+(5 - m)) = 0$ 。
已有一個根$x = 0$，要使$x^{2}-4x+(5 - m)=0$有兩個不同正根。
對於一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 1$，$b=-4$，$c = 5 - m$），有兩個不同正根需滿足$\Delta=b^{2}-4ac\gt0$，$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}\gt0$，$x_1x_2=\frac{c}{a}\gt0$ 。
$\Delta = 16 - 4(5 - m)\gt0$，即$16 - 20 + 4m\gt0$，$4m\gt4$，$m\gt1$ 。
$x_1 + x_2 = 4\gt0$（恆成立）。
$x_1x_2 = 5 - m\gt0$，$m\lt5$ 。
所以$1\lt m\lt5$，則$a = 1$，$b = 5$，$a\cdot b=5$ 。報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-01

坐標平面上，一質點由點(-3, -2)出發，沿著向量(a, 1)的方向移動5單位長之後剛好抵達x軸，其中a為正實數。試問a值等於下列哪一個選項？
(1) $\frac{\sqrt{13}}{2}$ (2) 2 (3) $\sqrt{5}$ (4) $\frac{\sqrt{21}}{2}$ (5) $2\sqrt{6}$

[單選]

答案

$\because y分量增加2,由係數積知道x分量增加2a\\
\therefore |(2a,2)|=5\Rightarrow 5^2=(2a)^2+2^2\\
a=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}~~(由已知a取正)$。答案為(4)。報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-02

放射性物質的半衰期T定義為「每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有A、B兩種放射性物質，其半衰期分別為 $ T_A $、$ T_B $。開始記錄時這兩種物質的質量相等，112天後測量發現物質B的質量為物質A的質量的四分之一。根據上述，試問 $ T_A $、$ T_B $ 滿足下列哪一個關係式？
(1) $-2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}$
(2) $2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}$
(3) $-2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}$
(4) $2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}$
(5) $2 \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}$

[單選]

答案

設初始質量為 $M$，112天後A的質量為 $M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}$，B的質量為 $M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}}$。根據題意，$M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}} = \frac{1}{4} M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}$，即 $2^{-\frac{112}{T_B}} = 2^{-2} \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}$。取對數得 $-\frac{112}{T_B} = -2 - \frac{112}{T_A}$，整理得 $2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}$。答案為(2)。報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-03

試問極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} \left( \sqrt{4n^2 + 9 \times 1^2} + \sqrt{4n^2 + 9 \times 2^2} + \cdots + \sqrt{4n^2 + 9 \times (n-1)^2} \right) \]
的值可用下列哪一個定積分表示？
(1) $\int_0^3 \sqrt{1+x^2} \, dx$ (2) $\int_0^3 \sqrt{1+9x^2} \, dx$ (3) $\int_0^3 \sqrt{4+x^2} \, dx$
(4) $\int_0^3 \sqrt{4+9x^2} \, dx$ (5) $\int_0^3 \sqrt{4x^2+9} \, dx$

[單選]

答案

將極限轉化為定積分，令 $\Delta x = \frac{3}{n}~~(0\le k\le n-1,0\le x\le3)$，則
$\Delta A=\frac{3}{n^2} ( \sqrt{4n^2 + 9 \times k^2}=\frac{3}{n} ( \sqrt{4 + ({\frac{3k}{n}})^2})
=\frac{3}{n} ( \sqrt{4 + (x_{k})^2})=\Delta x\times y_k 。\\
極限可表示為 \int_0^3 \sqrt{4 + x^2} \, dx$。答案為(3)。報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-04

設 $a, b$ 為實數。已知四個數 $-3, -1, 4, 7$ 皆滿足 $x$ 的不等式 $|x-a|\leq b$，試選出正確的選項。
(1) $\sqrt{10}$ 也滿足 $x$ 的不等式 $|x-a|\leq b$
(2) $3, 1, -4, -7$ 滿足 $x$ 的不等式 $|x+a|\leq b$
(3) $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}$ 滿足 $x$ 的不等式 $|x-a|\leq \frac{b}{2}$
(4) $b$ 可能等於4
(5) $a, b$ 可能相等

[多選]

答案

已知$-3, -1, 4, 7$滿足$|x - a| \leq b$，則區間$[a - b, a + b]$需包含這四個數。
分析如下：確定$a, b$範圍：
數值中最小值$-3$，最大值7，故$a - b \leq -3$，$a + b \geq 7$，且區間長度$2b \geq 10 \implies b \geq 5$。取$a = 2$，$b = 5$時，區間$[-3, 7]$恰好包含$-3, -1, 4, 7$。
選項分析：
（1）：$\sqrt{10} \approx 3.16$，滿足$|-3| \leq 5$且在$[-3, 7]$內，正確。
（2）：$|x + a| \leq b$即$|x + 2| \leq 5$，解為$-7 \leq x \leq 3$。$3, 1, -4, -7$均在此區間內，正確。
（3）：$|x - a| \leq \frac{b}{2}$即$|x - 2| \leq 2.5$，區間$[-0.5, 4.5]$。但$-\frac{3}{2} = -1.5$不在此區間，錯誤。
（4）：$b \geq 5$，不可能等於4，錯誤。
（5）：若$a = b$，區間$[0, 2a]$無法包含$-3$，錯誤。
正確選項：（1）（2）報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-05

考慮實係數多項式 $f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b$。已知方程式 $f(x)=0$ 有虛根 $1+2i$ （其中 $i=\sqrt{-1}$），試選出正確的選項。
(1) $1-2i$ 也是 $f(x)=0$ 的根
(2) $a, b$ 皆為正數
(3) $f'(2.1)<0$
(4) 函數 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 有局部極小值
(5) $y=f(x)$ 圖形反曲點的 $x$ 坐標皆大於0

[多選]

答案

選項（1）：
實係數多項式虛根成共軛對，$1 + 2i$是根，則$1 - 2i$必為根，正確。
選項（2）：
由$(x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = x^2 - 2x + 5$，對$f(x)$作多項式長除法得餘式0，可得$a = -26$，$b = -60$，非正數，錯誤。
選項（3）：$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x - 26$，計算$f'(2.1)$：$4(2.1)^3 - 12(2.1)^2 - 4(2.1) - 26 < 0$，正確。選項（4）：$f'(1) = 4 - 12 - 4 - 26 = -38 \neq 0$，$x = 1$非極值點，錯誤。選項（5）：$f''(x) = 12x^2 - 24x - 4$，令$f''(x) = 0$，解$x = \frac{24 \pm \sqrt{768}}{24} 未必大於 0$，錯誤。報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-06

設 $a,b,c,d,r,s,t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\overrightarrow{u} = (a,b,0) \cdot \overrightarrow{v} = (c,d,0)$ 及
$\overrightarrow{w} = (r,s,t)$
滿足內積 $\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0$。考慮三階方陣 $A = \begin{bmatrix}
a & b & 0 \\
c & d & 0 \\
r & s & t
\end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
(1) 若 $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$
(2) 若 $t \neq 0$，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$

(3) 若存在一個向量 $\overrightarrow{w}$ 滿足 $\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ 且外積 $\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{w} \neq 0$，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$
(4) 若對任意三個實數 $e,f,g$，向量 $(e,f,g)$ 都可以表示成 $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ 的線性組合，則行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$
(5) 若行列式 $\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0$，則 $A$ 的行列式不等於0

[多選]

答案

$ (\mathrm{i})|det(A)|表\vec{u},\vec{v},\vec{w}所夾之平行六面體體積\\(\mathrm{ii})det(A)=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\\(\mathrm{iii})\vec{w}同時垂直\vec{u},\vec{v}\\ (\mathrm{iv})\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0代表\vec{u}//\vec{v}。答案為(1)(4)(5)。 $ 報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-07

有一個依順時針方向依序標示1,2,…,12數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
● 若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動5個鐘點。
● 若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動5個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數 $n$，令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置，$P(X_n = k)$ 代表 $X_n = k$ 的機率（其中 $k = 1,2,…,12$），且令 $E(X_n)$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。
(1) $E(X_1) = 6$
(2) $P(X_2 = 12) = \frac{1}{4}$
(3) $P(X_8 = 5) \geq \frac{1}{2^8}$
(4) $P(X_8 = 4) = P(X_8 = 8)$
(5) $E(X_8) \leq 7$

[多選]

答案

選項（1）：
第一次移動，正面到5，反面到7，概率各$\frac{1}{2}$。$E(X_1) = \frac{5 + 7}{2} = 6$，正確。選項（2）：$X_2 = 12$的路徑：第一次正（到5），第二次反：$5 - 5 = 0 \equiv 12 \ (\text{mod}\ 12)$。第一次反（到7），第二次正：$7 + 5 = 12$。
共2種路徑，$P(X_2 = 12) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}$，錯誤。
(3)$X_8不可能等於5,P(x_8=5)=0$
(4)因為對稱正確
(5)分成$(+,-)=\overset{到4}{(8,0)},\overset{到6}{(7,1)},\overset{到8}{(6,2)},\overset{到10}{(5,3)},\overset{到12}{(4,4)},\overset{到2}{(3,5)},\overset{到4}{(2,6)},\overset{到6}{(1,7)},\overset{到8}{(0,8)}來$討論報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-08

複數平面上，設 $\overline{z}$ 代表複數 z 的共軛複數，且 i = $\sqrt{-1}$。試選出正確的選項。
(1) 若 z = 2i ，則 $z^3 = 4i\overline{z}$
(2) 若非零複數 α 滿足 $α^3 = 4i\overline{\alpha}$ ，則 $|α| = 2$
(3) 若非零複數 α 滿足 $α^3 = 4i\overline{\alpha}$ 且令 β = iα ，則 β$^3$ = 4i$\overline{\beta}$
(4) 滿足 $z^3 = 4i\overline{z}$ 的所有非零複數 z 中，其主輻角的最小可能值為 $\frac{\pi}{6}$
(5) 恰有 3 個相異非零複數 z 滿足 $z^3 = 4i\overline{z}$

[多選]

答案

選項（1）：$z = 2i$，$z^3 = (2i)^3 = -8i$；$4i\overline{z} = 4i(-2i) = 8$，$-8i \neq 8$，錯誤。選項（2）：
設$\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，代入$\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}$，取模得$r^3 = 4r$（$r \neq 0$），解得$r = 2$，即$|\alpha| = 2$，正確。選項（3）：$\beta = i\alpha$，則$\beta^3 = (i\alpha)^3 = -i\alpha^3$。由$\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}$，得$\beta^3 = -i \cdot 4i\overline{\alpha} = 4\overline{\alpha}$。又$4i\overline{\beta} = 4i\overline{i\alpha} = 4\overline{\alpha}$，故$\beta^3 = 4i\overline{\beta}$，正確。選項（4）：
由$\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}$，$|\alpha| = 2$，代入三角形式解得主輻角最小為$\frac{\pi}{8}$（非$\frac{\pi}{6}$），錯誤。選項（5）：
方程$z^3 = 4i\overline{z}$兩邊乘z得$z^4 = 16i$，16i的四次方根有4個，錯誤。
最終答案：$\boxed{(2)(3)}$ 報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-09

已知平面上直角 $\triangle ABC$ 的三邊長 $AB = \sqrt{7}$ 、 $AC = \sqrt{3}$ 、 $BC = 2$ 。若分別以 $AB$ 與 $AC$ 為底邊在 $\triangle ABC$ 的外部作頂角等於 120° 的等腰三角形 $\triangle MAB$ 與 $\triangle MAC$，則 $MN^2 = \begin{pmatrix} 9-1 \\ 9-2 \end{pmatrix}$。（化為最簡分數）

[選填]

答案

$令\angle A=\theta,\cos\angle MAN=\cos(60^{\circ}+\theta)\\
\cos(60^{\circ}+\theta)=\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta=\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\\
\Delta MAN中,\overline{MN}^2=1^2+(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}})^2-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{13}{3}$ 報錯
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