〈數學指考分科-甲〉彙整頁面 - 第 17 頁，總計 19 頁

111分科數學甲試題-03

坐標空間中$O$為原點，點$P$在第一卦限且$\overline{OP}=1$。已知直線$OP$與$x$軸有一夾角為$45^{\circ}$且$P$點到$y$軸的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$。試選出點$P$的$z$坐標。(1)$\frac{1}{2}$(2)$\frac{\sqrt{2}}{4}$(3)$\frac{\sqrt{3}}{3}$(4)$\frac{\sqrt{6}}{6}$(5)$\frac{\sqrt{3}}{6}$

答案

設$P(x,y,z)$ ，由$\overline{OP}=1$可得$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 。
直線$OP$與$x$軸夾角為$45^{\circ}$ ，根據向量夾角公式$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{i}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{i}\vert}$（$\overrightarrow{i}$為$x$軸正方向單位向量），則$\cos45^{\circ}=\frac{x}{\overline{OP}}$，即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
又$P$點到$y$軸距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，即$\sqrt{x^{2}+z^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，把$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入可得$z=\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，答案為(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題01

如右圖所示,有一 $ \triangle ABC $,已知 $ BC $ 邊上的高 $ AD = 12 $,且 $ \tan\angle BAD=\frac{3}{2} $,$ \tan\angle CAD=\frac{2}{3} $,試問 $ BC $ 的長度為何？(1) 20 (2) 21 (3) 24 (4) 25 (5) 26

答案

在 $\triangle ABD$ 中,$\tan\angle B =\frac{3}{2}$,$AD = 12$,可得 $BD = 8$；在 $\triangle ACD$ 中,$\tan\angle C =\frac{2}{3}$,可得 $CD = 18$,所以 $BC = BD + CD = 8 + 18 = 26$,正確選項(5)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題02

坐標平面上,橢圓 $ \Gamma $ 的方程式為 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{6^2}=1$ （其中 $ a $ 為正實數）。若將 $ \Gamma $ 以原點 $ O $ 為中心,沿 $ x $ 軸方向伸縮為 2 倍、沿 $ y $ 軸方向伸縮為 3 倍後,所得到的新圖形會通過點 $(18,0)$ 。試問下列哪一個選項是 $ \Gamma $ 的焦點？(1) $(0,3 )$ (2) $(\sqrt{3},0)$ (3) $(3\sqrt{3},0)$ (4) $(6,0)$ (5) $(9,0)$

答案

伸縮後的橢圓方程為$\frac{x^{2}}{(2a)^{2}}+\frac{y^{2}}{18)^2}=1$,
$\therefore 2a=18\Rightarrow a=9\wedge b=6,c=\sqrt{9^2-6^2}=3\sqrt{5},選(2)$。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題03

想在 $ 5×5 $ 的棋盤上擺放 4 個相同的西洋棋的城堡棋子。由於城堡會將同一行或是同一列的棋子吃掉,故擺放時規定每一行與每一列最多只能擺放一個城堡。在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下,試問共有多少種擺放方式？(1) 216 (2) 240 (3) 288 (4) 312 (5) 360

答案

(1)不選第一列:先從第 2~5 列中選 4 列,有 $C_{4}^{4}\overset{選列}{\times5\times4\times3\times2}=120$
(2)選到第一列:所以共有 $\overset{選行}{C^2_1}×\overset{選列}{C^{5-1}_3×4×3×2} = 192$
共$120+192=312$種擺放方式,答案是(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題04

一遊戲廠商將舉辦抽獎活動,廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣,且每次抽獎的中獎機率皆為$\frac{1}{10}$。某甲決定先存若干個代幣,並在活動開始後進行抽獎,直到用完所有代幣才停止。試選出正確的選項。
(1)某甲中獎一次所需要抽獎次數的期望值為10
(2)某甲抽獎兩次就中獎一次以上的機率為0.2
(3)某甲抽獎10次都沒中獎的機率小於抽獎1次就中獎的機率
(4)某甲至少要存22個代幣,才能保證中獎的機率大於0.9
(5)某甲只要存足夠多的代幣,就可以保證中獎的機率為1

答案

(1) 中獎一次所需抽獎次數服從幾何分布,期望值為 $ \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$,(1) 對；
(2) 抽獎兩次中獎一次以上的概率為 $1 - C_{2}^{0}(\frac{1}{10})^{0}(1 - \frac{1}{10})^{2}=1 - 0.81 = 0.19\neq0.2$,(2) 錯；(3) 抽獎 10 次都沒中獎概率為 $(1 - \frac{1}{10})^{10}\approx0.349$,抽獎 1 次中獎概率為 $\frac{1}{10}=0.1$,(3) 錯；(4) 設存 $n$ 個代幣,中獎概率 $P = 1-(1 - \frac{1}{10})^{n}>0.9$,即 $(1 - \frac{1}{10})^{n}<0.1$,解得 $n\geq22$,(4) 對；(5) 當 $n\to+\infty$ 時,中獎概率趨近於 1,有限個代幣時辦不到(5) 不對。答案是(1)(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題05

設 $ f (x) $ 為三次實係數多項式。已知 $ f (−2 − 3i) = 0$（其中 $ i=\sqrt{-1} $）,且 $ f (x) $ 除以 $ x^{2}+x – 2$ 的餘式為 18 。試選出正確的選項。
(1) $ f (2 + 3i) = 0$
(2) $ f (−2) = 18$
(3) $ f (x) $ 的三次項係數為負
(4) $ f (x) = 0$ 恰有一正實根
(5) $ y = f (x) $ 圖形的對稱中心在第一象限

答案

(1) 實系數多項式的虛根成對出現,所以 $f (-2 + 3i) = 0$,(1) 錯
(2) $x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)$,令 $f(x)=(x^{2}+x - 2)q(x)+18$,則 $f(-2)=18$,(2) 對；
(3) $令f(x)=[x-(-2-3i)][x-(-2+3i)](ax+b)=(x^2+4x+13)(px+q)\\
\because f(-2)=18=f(1)~~x=-2,1代入上式\\
解得p=-\frac{1}{3},q=\frac{4}{3}$,(3) 對；
(4) $by(3),可令px+q=0,解得第三根x=4$,(4) 對；
(5) 代對稱中心公式 $(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$,即可判定,(5) 錯。
答案是(2)(3)(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題06

坐標空間中,考慮滿足內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}$ 與外積 $\vec{u} \times \vec{v} = (−1,0,3)$ 的兩向量 $\vec{u} $、$\vec{v} $ 。試選出正確的選項。
(1) $\vec{u} $ 與 $\vec{v} $ 的夾角 $ \theta $（其中 $ 0\leq\theta\leq\pi $,$ \pi $ 為圓周率）大於 $ \frac{\pi}{4}$
(2) $\vec{u} $ 可能為 $(1,0,−1)$
(3) $\vert\vec{u}|+|\vec{v}\vert\ge 2\sqrt{5}$
(4) 若已知 $\vec{v} $,則 $\vec{u} $ 可以被唯一決定
(5) 若已知 $\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert$,則 $\vert\vec{v}\vert$ 可以被唯一決定

答案

(1) $\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\sin\theta=\sqrt{10}\cdots(a)$,$\vec{u} \cdot \vec{v} =\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos\theta=\sqrt{15}\cdots(b)$,$\frac{(a)}{(b)}$可得 $\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\le1$,所以 $ \theta\lt\frac{\pi}{4}$,(1) 錯；
(2) $\because (1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0,不滿足外積為公垂向量,內稽等於0之要求$,(2) 錯；
(3) $by(1)~~(a)^2+(b)^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2=25\therefore |\vec{u}||\vec{v}|=5$
$算幾不等式~~\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{2}\ge\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2}=5\\ |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge2|\vec{u}||\vec{v}|=10 \\(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge2|\vec{u}||\vec{v}|+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge10+2\times5=20\\|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(4)$若\vec{u}確定則|\vec{u}|,|\vec{v}|都確定\\又\vec{v}//\vec{u}\times(-1,0,3)\therefore \vec{v}有兩個方向\\若加上第(1)選項可知夾角\\就能確定方向只有一種可能~~所以\vec{v}的大小與方向都能確定,只有一種可能$ ,(4) 對；
(5) 由$令\overset{確定}{\square^2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\overset{可確定}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\知|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2可確定,\\只知道夾角但是|\vec{v}|無法確定$
,(5) 錯。
答案是(3)(4)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題07

坐標平面上,考慮兩函數 $ f (x) = x^{5}-5x^{3}+5x^{2}+5$ 與 $ g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi}{2})$ 的函數圖形（其中 $ \pi $ 為圓周率）。試選出正確的選項。
(1) $ f'(1) = 0$
(2) $ y = f (x) $ 在閉區間 $[0,2]$ 為遞增
(3) $ y = f (x) $ 在閉區間 $[0,2]$ 為凹向上
(4) 對任意實數 $ x$,$ g(x + 6\pi) = g(x)$
(5) $ y = f (x) $ 與 $ y = g(x) $ 在閉區間 $[3,4]$ 皆為遞增

答案

(1) $f'(x)=5x^{4}-15x^{2}+10x$,$f'(1)=5 - 15 + 10 = 0$,(1) 對；
(2) $f'(x)=5x(x^{3}-3x + 2)=5x(x - 1)^{2}(x + 2)$,在 $[0,2]$ 上 $f'(x)\geq0$,$y = f (x)$ 遞增,(2) 對；
(3) $f''(x)=20x^{3}-30x + 10$,在 $[0,2]$ 上 $f''(x)$ 有正有負,不是凹向上,(3) 錯；
(4) $g(x)=\sin(\frac{\pi}{3}x)$ 的周期 $T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$,不是 $6\pi$,(4) 錯；
(5) $f'(x)>0$ 在 $[3,4]$ 成立,
$g(x)週期6且x=3時\theta=\frac{\pi}{3}\times3+\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi,\\x=4時\theta=\frac{\pi}{3}\times4+\frac{\pi}{2}=\frac{11}{6}\pi,此區間g(x)遞增,(5)對。$
答案是(1)(2)(5)。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題08

設z為非零複數，且設$\alpha = |z|$、$\beta$為z的輻角，其中$0 \leq \beta \lt 2\pi$（其中$\pi$為圓周率）。
對任一正整數n，設實數$x_{n}$與$y_{n}$分別為$z^{n}$的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若$\alpha = 1$且$\beta = \frac{3\pi}{7}$，則$x_{10} = x_{3}$
(2) 若$y_{3} = 0$，則$y_{6} = 0$
(3) 若$x_{3} = 1$，則$x_{6} = 1$
(4) 若數列$\{y_{n}\}$收斂，則$\alpha \leq 1$
(5) 若數列$\{x_{n}\}$收斂，則數列$\{y_{n}\}$也收斂

答案

選項（1）
由棣美弗定理，$z = \cos\frac{3\pi}{7} + i\sin\frac{3\pi}{7}$，則$x_{10} = \cos\left(10 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}$，$x_3 = \cos\left(3 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{9\pi}{7}$。
因$\cos\frac{2\pi}{7} \neq \cos\frac{9\pi}{7}$，故$x_{10} \neq x_3$，（1）錯誤。
選項（2）$z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)$，$y_3 = 0 \implies \sin3\beta = 0$，即$3\beta = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），$\beta = \frac{k\pi}{3}$。
代入$z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)$，得$6\beta = 2k\pi$，此時$\sin6\beta = 0$，故$y_6 = 0$，（2）正確。
選項（3）$z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)$，$x_3 = 1 \implies \alpha^3\cos3\beta = 1$。
但$z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)$中，$\alpha^6\cos6\beta$未必等於1。例如，取$\alpha = \sqrt[3]{2}$，$\cos3\beta = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$，此時$\cos6\beta$無法保證$\alpha^6\cos6\beta = 1$，（3）錯誤。
選項（4）$y_n = \alpha^n\sin(n\beta)$。若$\alpha > 1$，$\alpha^n$趨向無窮，$y_n$因$\sin(n\beta)$振盪而不收斂；若$\alpha \leq 1$，$\alpha^n \to 0$（$\alpha < 1$）或穩定（$\alpha = 1$），此時$y_n$收斂。因此，$\{y_n\}$收斂 $\implies \alpha \lt 1$，（4）錯誤。選項（5）$\because \alpha\lt1\therefore \{y_n\}收斂$（5）正確。報錯
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03-113分科測驗數學甲試題09

設$a, b, c, d$為實數。已知兩聯立方程組$\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}$、$\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}$的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到$\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1\end{bmatrix}$。求聯立方程組$\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}$的解，即$x = \_\_\_$，$y = \_\_\_$。

答案

通過分析前兩個方程組的解，反推原係數：對第一個方程組，變換後解為$x = 5$，$y = 2$，代入$\begin{cases}ax + by = 2 \\ cx + dy = 1\end{cases}$；對第二個方程組，變換後解為$x = 1$，$y = -1$，代入$\begin{cases}ax + by = -1 \\ cx + dy = -1\end{cases}$。解得$a = 0$，$b = 1$，$c = -\frac{1}{7}$，$d = \frac{6}{7}$。代入所求方程組$\begin{cases}ax + by = 0 \\ cx + dy = 1\end{cases}$，即$\begin{cases}y = 0 \\ -\frac{1}{7}x + \frac{6}{7}y = 1\end{cases}$，解得$x = -7$，$y = 0$。報錯
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