坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 以 原 點 為 圓 心 的 圓,\( P \) 為 \( \Gamma \) 與 \( x \) 軸的 其中一 個 交 點。 已 知 通過 \( P \) 點且斜率為 \(\frac{1}{2}\) 的 直線交 \( \Gamma \) 於另 一 點 \( Q\),且 \( PQ = 1\),則 \( \Gamma \) 的半徑 為__________ 。
數學指考分科-甲
03-113分科測驗數學甲試題11
設 實數 \( a_{1},a_{2},\cdots,a_{9} \) 是 公差為 \( 2 \) 的 等 差 數列 ,其中 \( a_{1}\neq0\) 且 \( a_{3}>0\)。若 \(\log_{2}a_{3},\log_{2}b,\log_{2}a_{9}\) 三數依序也成等差數列 ,其中 \( b \) 為 \( a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8} \) 其中一數,則 \(a_9 =\)__________ 。
答案
已知\(\{a_n\}\)是公差\(d = 2\)的等差數列，則\(a_n = a_1 + 2(n - 1)\)。由\(\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9\)成等差數列，得\(2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9\)，即\(b^2 = a_3 a_9\)。計算\(a_3 = a_1 + 4\)，\(a_9 = a_1 + 16\)，代入\(b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)。因b為\(a_4, a_5, a_6, a_7, a_8\)之一，逐一驗證：若\(b = a_4 = a_1 + 6\)，則\((a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)，展開得：\(a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}\)
此時\(a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0\)，符合條件。因此，\(a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{25}{2}}\) 報錯
ChatGPT DeepSeek
03-113分科測驗數學甲試題12
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。 令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{2}\) 。已知 三 直 線 \( L_{1}\) 、\(L_{2}\) 、\(L_{3}\) 有 共 同 交 點,試求 此 共 同 交 點 \( P \) 的 坐 標。
答案
聯立 \(\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}\),兩式相減得 \(2y = 4\),\(y = 2\)。再聯立 \(\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}\),兩式相加得 \(2(x - y)= - 2\),把 \(y = 2\) 代入得 \(x = 3\),再把 \(x = 3\),\(y = 2\) 代入 \(x + y + z = 7\) 得 \(z = 2\),所以交點 \(P\) 的坐標為 \((3,2,2)\)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
03-113分科測驗數學甲試題13
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。 令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。試 說 明 \( L_{1}\) 、 \( L_{2}\) 、 \( L_{3}\) 中,任兩直線 所 夾的 銳 角皆為 \( 60^{\circ}\) 。
答案
先求各直線方向向量,平面 \(E_{1}\) 法向量 \(\vec{n}_{1}=(1,1,1)\),\(E_{2}\) 法向量 \(\vec{n}_{2}=(1,- 1,1)\),\(E_{3}\) 法向量 \(\vec{n}_{3}=(1,- 1,- 1)\) 。 \(L_{1}\) 方向向量 \(\vec{v}_{1}=\vec{n}_{2}\times\vec{n}_{3}=(2,2,0)\),\(L_{2}\) 方向向量 \(\vec{v}_{2}=\vec{n}_{3}\times\vec{n}_{1}=(0,2,2)\),\(L_{3}\) 方向向量 \(\vec{v}_{3}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=(2,0,- 2)\) 。任取兩個方向向量,如 \(\vec{v}_{1}\) 與 \(\vec{v}_{2}\),\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}\vert}{\vert\vec{v}_{1}\vert\vert\vec{v}_{2}\vert}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\),所以夾角為 \(60^{\circ}\),同理可證其他兩兩夾角也為 \(60^{\circ}\)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
03-113分科測驗數學甲試題14
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。
令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。
若 坐 標 空 間 中 第 四 個 平 面 \( E_{4}\) 與 \( E_{1}\) 、 \( E_{2}\) 、 \( E_{3}\) 圍 出 一 個 邊 長 為 \( 6\) 的 正 四 面 體,試求 出 \( E_{4}\) 的方程式（寫 成 \( x + ay + bz = c\) 的形式）。
答案
先求出平面 \(E_{1}\) 、 \(E_{2}\) 、 \(E_{3}\) 交點 \(P(3,2,2)\) 。正四面體中,點 \(P\) 到平面 \(E_{4}\) 的距離 \(d = \sqrt{6^{2}-(2\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{6}\) 。設平面 \(E_{4}\) 法向量 \(\vec{n}=(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,1)且(1,a,b)\perp(1,1,1)\times(1,-1,-1)\),可以算出a,b\\
再利用點到平面距離公式 \(d=\frac{\vert3 + 2a + 2b - c\vert}{\sqrt{1 + a^{2}+b^{2}}}=\overset{6\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}}\) ,可得c\\平面 \(E_{4}\) 的方程為 \(x + y - z = 3\) 。 報錯
ChatGPT DeepSeek
03-113分科測驗數學甲試題15
坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 三 次 函 數 \( f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4\) 的 函 數 圖 形。試問下列何者為 \( f (x) \) 的導函數？
(1) \(x^{2}-9x + 15\)
(2) \(3x^{3}-18x^{2}+15x – 4\)
(3) \(3x^{3}-18x^{2}+15x\)
(4) \(3x^{2}-18x + 15\)
(5) \(x^{2}-18x + 15\)
答案
111分科數學甲試題-04
設多項式\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\) ，\(g(x)=x^{2}+ax + 1\) ，其中\(k\)，\(a\)為實數。已知\(g(x)\)整除\(f(x)\) ，且方程式\(g(x)=0\)有虛根。試選出為方程式\(f(x)=0\)的根之選項。(1)\(-3\)(2)\(0\)(3)\(1\)(4)\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\)(5)\(\frac{3+\sqrt{-5}}{2}\)
答案
因為\(g(x)\)整除\(f(x)\)，設\(f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m\) 。
對比\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\)的係數可得：\(a + m = 2\)，\(am + 1=-2\) ，解聯立方程得\(m = 3\)，\(a=-1\) 。
所以\(f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)\) ，對於一元二次方程\(x^{2}-x + 1 = 0\)，由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)（此處\(a = 1\)，\(b=-1\)，\(c = 1\)）可得根為\(x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\) ，所以\(f(x)=0\)的根為\(-3\)，\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) ，答案為(1)(4)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
111分科數學甲試題-05
坐標平面上有一圖形\(\Gamma\)，其方程式為\((x – 1)^{2}+(y – 1)^{2}=101\) 。試選出正確的選項。(1)\(\Gamma\)與\(x\)軸負向、\(y\)軸負向分別交於\((-9,0)\)、\((0,-9)\)(2)\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是點\((11,0)\)(3)\(\Gamma\)上的點與原點距離的最大值為\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\)(4)\(\Gamma\)在第三象限的點之極坐標可用\([9,\theta]\)表示，其中\(\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi\)(5)\(\Gamma\)經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含\(xy\)項的二元二次方程式表示
答案
令\(y = 0\) ，則\((x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101\) ，即\((x - 1)^{2}=100\) ，解得\(x - 1=\pm10\) ，\(x = 11\)或\(x=-9\) ；令\(x = 0\) ，則\((0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101\) ，即\((y - 1)^{2}=100\) ，解得\(y - 1=\pm10\) ，\(y = 11\)或\(y=-9\) ，所以(1)正確。
圓的標準方程為\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，此圓圓心為\((1,1)\) ，半徑\(r=\sqrt{101}\) ，\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是\((1+\sqrt{101},1)\) ，(2)錯誤。
圓心\((1,1)\)到原點距離為\(\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}\) ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\) ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑\(\sqrt{101}>9\) ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含\(xy\)項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
111分科數學甲試題-06
假設2階方陣\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)所代表的線性變換將坐標平面上三點\(O(0,0)\) 、\(A(1,0)\) 、\(B(0,1)\)分別映 射到\(O(0,0)\) ，\(A'(3,\sqrt{3})\) ，\(B'(-\sqrt{3},3)\) ，並將與原點距離為1的點\(C(x,y)\)映射到點\(C'(x’,y’)\) 。試選出正確的選項。(1)行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6\)(2)\(\overline{OC’}=2\sqrt{3}\)(3)\(\overrightarrow{OC}\)和\(\overrightarrow{OC’}\)的夾角為\(60^{\circ}\)(4)有可能\(y = y’\)(5)若\(x < y\)則\(x’ < y’\)
答案
由線性變換性質，\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}\)得\(a = 3\)，\(c=\sqrt{3}\)；\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}\)得\(b=-\sqrt{3}\)，\(d = 3\)。行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12\)，(1)錯誤。\(\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}\)，\(\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}\)，(2)正確。\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3\)，\(\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，夾角為\(30^{\circ}\)，(3)錯誤。令\(y = y'\)，即\(-\sqrt{3}x + 3y = y\)，\(x=\frac{2y}{\sqrt{3}}\)，有可能成立，(4)正確。取\(x = 0\)，\(y = 1\)，\(x'=-\sqrt{3}\)，\(y' = 3\)，此時\(x < y\)，但\(x' < y'\)不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
111分科數學甲試題-07
假設\(A\)，\(B\)為一拋物線\(\Gamma\)上兩點且其連線段通過\(\Gamma\)的焦點\(F\) 。設\(A\)，\(F\)，\(B\)在\(\Gamma\)之準線上的投影分別為\(A’\) ，\(F’\) ，\(B’\) 。試選出等於\(\frac{\overline{A’F’}}{\overline{A’A}}\)的選項。(注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確)
(1)\(\tan\angle1\)，其中\(\angle1=\angle A’F’A\)(2)\(\sin\angle2\)，其中\(\angle2=\angle AF’F\)(3)\(\sin\angle3\)，其中\(\angle3=\angle A’AF\)(4)\(\cos\angle4\)，其中\(\angle4=\angle F’FB\)(5)\(\tan\angle5\)，其中\(\angle5=\angle FF’B\)
