數學

設 \(f(x)\) 為實係數多項式，且 \(f(x)\) 除以 \(x – 1\) 的餘式為5，\(f(-1) = -5\)。若 \(f(x)\) 除以 \(x^2 – 1\) 的餘式為 \(ax + b\)，則數對 \((a, b) = \)(__________, __________)

由4個正整數組成一組數據 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)，其平均數與中位數皆為2，則此組數據的標準差最大可能值為__________

「菌落」是指單個细菌菌體或孢子在固體培養基上生長繁殖後，所形成肉眼可見的一圈细菌群落。依细菌種類不同，菌落表面及邊緣亦有不同的型態。經研究顯示，喝過的瓶装水存放5天后，菌落數由一開始每毫升约有730個，激增至每毫升11600個。假設該瓶装水的菌落數每日皆變成前一天的 \(k\) 倍，則 \(k = __________\)（四捨五入至小數點後第二位）

已知 \(a\) 為 \(x^2 – 4x + 1 = 0\) 的一根實數解，試求 \(2a^4 – 9a^3 + 9a^2 – 12a – 3 + \frac{4}{a^2 + 1}\) 的值為__________（化為最簡分數）

設坐標平面上 \(A(-1,1)\)、\(B(0,a)\) 兩點，若直線 \(AB\) 關於 \(y = a\) 對稱的直線 \(L\) 與圓 \(C:(x – 3)^2 + y^2 = 1\) 有交點，試求 \(a\) 的範圍為 \(a \in \)[__________, __________]

設 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\) 的對邊邊長分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\)，已知 \(b^2 = ac\)，若點 \(D\) 在 \(\overline{AC}\) 邊上，且 \(\overline{BD} = \overline{AC}\)，\(\overline{AD} = 3\overline{CD}\)，試求 $\cos\angle ABC = \frac{~~~~~~~~~~~}{~~~~~~~~~~}$（化為最簡分數）

[題組:第18到20題]王先生參加一個4天3夜的渡假活動，旅行社提供3間不同的單人小木屋 \(A\)、\(B\)、\(C\) 供住宿，參加旅客必須每天在不同的小木屋留宿。例如：王先生「第1天住 \(A\) 房、第2天住 \(B\) 房、第3天住 \(C\) 房」與「第1天住 \(A\) 房、第2天住 \(C\) 房、第3天住 \(B\) 房」視為不同的安排。試問王先生這3夜住宿順序的安排方式有幾種？
\((1) 3\)種
\((2) 4\)種
\((3) 6\)種
\((4) 9\)種
\((5) 12\)種

[題組:第18到20題]王先生參加一個4天3夜的渡假活動，旅行社提供3間不同的單人小木屋 \(A\)、\(B\)、\(C\) 供住宿，參加旅客必須每天在不同的小木屋留宿。若王先生這3夜的住宿安排順序為「第1天住 \(A\) 房、第2天住 \(B\) 房、第3天住 \(C\) 房」，好朋友丁小姐和呂先生也對該行程有興趣，但兩人不得選擇王先生已選定的小木屋留宿，每人每晚均在不同的小木屋住宿，且每間小木屋每晚只能供1人住宿。則丁小姐和呂先生這3夜的住宿順序有幾種安排的方式？

[題組:第18到20題]王先生參加一個4天3夜的渡假活動，旅行社提供4間不同的單人小木屋 \(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\) 供住宿，參加旅客必須每天在不同的小木屋留宿。結束旅程後，3人對此行程非常滿意，決定再次參加此4天3夜的渡假活動。若此次旅行社共安排4間不同的單人小木屋 \(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\) 供3人住宿，每人每晚均在不同的小木屋住宿，且每間小木屋每晚只能供1人住宿。此次3人一起進行3夜的住宿規劃，則3人的3夜住宿順序有幾種安排的方式？