數學

1. 化簡 \(a_n=(-1)^n\cos\frac{\pi}{6}=(-1)^n\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)；
2. (1) \(a_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}\neq-\frac{1}{2}\)，錯；
3. (2) \(a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，不相等，錯；
4. (3) \(a_4=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(a_{24}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，相等，對；
5. (4) 數列交替取 \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)，不收斂，錯；
6. (5) 級數和 = \( \frac{-\sqrt{3}/2}{1 + \sqrt{3}/2} = 3 - 2\sqrt{3} \)。答案：(3)(5) 報錯
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(1)(3)
(1) ✓：\( f(0) = 1 > 0 \)
(2) ✗：\( 1.2^{10} \approx 6.19 < 10 \)
(3) ✓：由中間值定理，在 \( 0 < x < 2 \) 區間有交點
(4) ✗：\( y = \log(1.2^x) = x \log 1.2 \) 是直線，與 \( y=1.2^x \) 不對稱於 \( y=x \)
(5) ✗：存在 \( b \) 使 \( \log_{1.2} b = 1.2^b \)（因兩反函數圖形在 \( y=x \) 上有交點） 報錯
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1. (1) 極小值與極大值無必然大小關係，錯；
2. (2) \(x=1、2\) 是極小值，故 \(f'(x)\) 在 \(1\) 右側正、\(2\) 左側負，存在 \(a,b\) 使 \(f'(a)>0\) 且 \(f'(b)<0\)，對；
3. (3) \(x=3\) 是極大值，故 \(f''(3)<0\)，錯；
4. (4) 最高次項係數正，次數大於5（奇數），\(x\to+\infty\) 時 \(f'(x)\to+\infty\)，故存在 \(c>5\) 使 \(f'(c)>0\)，對；
5. (5) ✓：\( f'(x)=0 \) 至少有 7 個實根 ⇒ \( \deg f(x) \geq 8 \)：(2)(4)(5) 報錯
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(2)(3)(5)
(1) ✗：\( |z|=2 \Rightarrow z\bar{z}=4 \)
(2) ✓：三點共線 ⇒ \( \frac{z^3 - z}{z-1} \in \mathbb{R} \)
(3) ✓：化簡得 \( z^2+z \in \mathbb{R} \)，設 \( z=x+yi \)，得 \( x=-\frac{1}{2} \)
(4) ✗：\( z^2-z+4=0 \) 的根實部為 \( \frac{1}{2} \)，不合
(5) ✓：先解出$z$再利用(2)得$z^2$ ,可推得共線 報錯
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\( A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)
\( BA = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ -\sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \)
左式：\( a_1+a_2+a_3+a_4 = 2\cos\theta \)
右式：\( 2(c_1+c_2+c_3+c_4) = 2(\cos\theta - \sin\theta - \sin\theta - \cos\theta) = -4\sin\theta \)
得 \( 2\cos\theta = -4\sin\theta \Rightarrow \tan\theta = -\frac{1}{2} \)？檢查：\( 2\cos\theta = -4\sin\theta \Rightarrow \cos\theta = -2\sin\theta \Rightarrow \tan\theta = -\frac{1}{2} \)
但原解答給 \( \frac{1}{2} \) 報錯
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1. 設 \(L_1\) 方向向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}=(0,m,n)\)，\(L_2\) 方向向量同 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\)；
2. 取兩直線上點 \(P(0,2,-11)\)、\(Q(8,21,0)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{PQ}=(8,19,11)\)；
3. 距離 \(d=\frac{|\overset{\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\rightharpoonup}{v}|}{|\overset{\rightharpoonup}{v}|}\)，由平行得方向向量 \((0,1,k)\)，計算得 \(d=\sqrt{8^2+(19)^2+(11)^2 - (\frac{19+11k}{\sqrt{1+k^2}})^2}\)，解得 \(d=\sqrt{185}\)。答案：\(\sqrt{185}\) 報錯
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204
設兩鄰邊向量：
\( \vec{u} \parallel 5x-y=0 \Rightarrow \vec{u} = b(1,5) \)
\( \vec{v} \perp 3x-2y=0 \Rightarrow \vec{v} = a(3,-2) \)
對角線向量和：\( \vec{u} + \vec{v} = 2\overrightarrow{PQ} = (20,-2) \)
解 \( (3a+b, -2a+5b) = (20,-2) \) 得 \( a=6, b=2 \)
面積 =\( |\begin{vmatrix}2&10 \\ 18&-12 \end{vmatrix}| = |2 \cdot (-12) - 10 \cdot 18| = |-24 - 180| = 204 \) 報錯
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1. 付300元即先付225元兩次未抽中，再付75元，故機率為兩次未抽中的機率；
2. 每次未抽中機率 \(\frac{3}{5}\)，兩次獨立，機率 \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)。答案：(3) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\) 報錯
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1. 設抽獎次數 \(X\)，\(P(X=k)=\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)（\(k=1,2,\dots\)）；
2. 期望值 \(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)；
3. 由幾何分布期望值公式 \(E(X)=\frac{1}{p}=\frac{5}{2}\)。答案：\(\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)，值為 \(\frac{5}{2}\) 報錯
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1. 方式一：設金額 \(Y_1\)，\(Y_1=225\)（至少一次抽中）機率 \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)，\(Y_1=300\) 機率 \(\frac{9}{25}\)，\(E(Y_1)=225\times\frac{16}{25}+300\times\frac{9}{25}=252\)；
2. 方式二：金額 \(Y_2=100X\)，\(E(Y_2)=100\times\frac{5}{2}=250\)；
3. 故 \(E(Y_1)>E(Y_2)\)。答案：方式一期望252元，方式二期望250元，方式一期望大於方式二 報錯
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