數學

令\(x = 1\)，代入\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)可得：
\(1\times f(1)=3\times1^{4}-2\times1^{3}+1^{2}+\int_{1}^{1}f(t)dt\)。
因為\(\int_{1}^{1}f(t)dt = 0\)，所以\(f(1)=3 - 2 + 1=2\)。 報錯
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對\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)兩邊求導。
根據乘積求導法則\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，左邊求導得\(f(x)+xf'(x)\)。
右邊求導，\((3x^{4}-2x^{3}+x^{2})^\prime=12x^{3}-6x^{2}+2x\) ，\((\int_{1}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。
所以\(f(x)+xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x + f(x)\)。
移項可得\(xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x\)，兩邊同時除以\(x\)（\(x\geq1\)），得到\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)。 報錯
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由(2)知\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)，對\(f'(x)\)積分求\(f(x)\)。
\(f(x)=\int(12x^{2}-6x + 2)dx = 4x^{3}-3x^{2}+2x + C\)。
由(1)知\(f(1)=2\)，把\(x = 1\)代入\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x + C\)得\(4 - 3 + 2 + C = 2\)，解得\(C=-1\)。
所以\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)。 報錯
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由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。 根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。 所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。 報錯
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首先求\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)：
\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x)=1 + 1 = 2\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在。
再求\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} g(x)=1\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(3 - x)=3 - 1 = 2\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在。
然後求\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x + 1)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(x + 2)=3\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(1 + 3 - x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(4 - x)=3\)，左右極限相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x)) = 3\)存在。
答案為(4)。 報錯
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首先，根據微積分基本定理，速度\(v(t)=s'(t)=-t^{2}+6t\)。
對\(v(t)\)求導得\(v'(t)=-2t + 6\)。
令\(v'(t)=0\)，即\(-2t + 6 = 0\)，解得\(t = 3\)。
當\(v'(t)>0\)時，\(-2t + 6>0\)，解得\(t < 3\)，此時速度\(v(t)\)遞增； 當\(v'(t)<0\)時，\(-2t + 6<0\)，解得\(t>3\)，此時速度\(v(t)\)遞減。
所以\(a = 3\)，答案為(1)。 報錯
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由換底公式\(\log _{4}(25 - y^{2})=\frac{\log _{2}(25 - y^{2})}{\log _{2}4}=\frac{1}{2}\log _{2}(25 - y^{2})\)。
原方程\(\log _{2}(x - 1)=\log _{4}(25 - y^{2})\)可化為\(2\log _{2}(x - 1)=\log _{2}(25 - y^{2})\)，即\(\log _{2}(x - 1)^{2}=\log _{2}(25 - y^{2})\)。
所以\((x - 1)^{2}=25 - y^{2}\)，整理得\((x - 1)^{2}+y^{2}=25\)。
因為\(x,y\)是整數，且\((x - 1)^{2}\geq0\)，\(y^{2}\geq0\)，所以有：
當\((x - 1)^{2}=0\)時，\(y^{2}=25\)，即\(x = 1\)，\(y=\pm5\)；
当\((x - 1)^{2}=1\)时，\(y^{2}=24\)（\(y\)不是整数，舍去）；
当\((x - 1)^{2}=4\)时，\(y^{2}=21\)（\(y\)不是整数，舍去）；
当\((x - 1)^{2}=9\)时，\(y^{2}=16\)，即\(x = 4\)或\(x=-2\)，\(y=\pm4\)；
当\((x - 1)^{2}=16\)时，\(y^{2}=9\)，即\(x = 5\)或\(x=-3\)，\(y=\pm3\)；
当\((x - 1)^{2}=25\)时，\(y^{2}=0\)，即\(x = 6\)或\(x=-4\)，\(y = 0\)。
综上，满足方程的格子点有\((1,5),(1, - 5),(4,4),(4, - 4),(-2,4),(-2, - 4),(5,3),(5, - 3),(-3,3),(-3, - 3),(6,0),(-4,0)\)，共12个，答案为(5)。 報錯
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(1) 因為\(M\)將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A'\)、\(B'\)，說明\(M\)是一一映射，所以\(M\)為可逆矩陣，(1)正确。
(2) 由線性變換的性質，若\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}'=M\overrightarrow{OC}=M(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}) = 2M\overrightarrow{OA}+3M\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}'+3\overrightarrow{OB}'\)，(2)正确。
(3) 線性變換不一定保持角度不變，所以\(\angle AOB\)不一定等於\(\angle A'OB'\)，(3)错误。
(4) 線性變換不一定保持線段比例不變，所以\(\overline{OA}:\overline{OB}\)不一定等於\(\overline{OA'}:\overline{OB'}\)，(4)错误。
(5) 根据線性變換的性質，\(\triangle OA'B'\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)，(5)正确。
答案为(1)(2)(5)。 報錯
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根据复数乘法的运算法则\((a + bi)(c + di)=(ac - bd)+(ad + bc)i\)。
(1)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})=\cos^{2}\frac{\pi}{7}-\sin^{2}\frac{\pi}{7}+2i\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)，不是实数，(1)错误。
(2)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7})=\cos^{2}\frac{\pi}{7}+\sin^{2}\frac{\pi}{7}=1\)，是实数，(2)正确。
(3)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(-\sin\frac{5\pi}{14}+i\cos\frac{5\pi}{14})=-\cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{14}-\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{14}+i(\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{14}-\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{14})=-\sin(\frac{\pi}{7}+\frac{5\pi}{14})+i\cos(\frac{\pi}{7}+\frac{5\pi}{14})=-\sin\frac{\pi}{2}+i\cos\frac{\pi}{2}=-1\)，是实数，(3)正确。
(4)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\sin\frac{\pi}{7}+i\cos\frac{\pi}{7})=\cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+i(\cos^{2}\frac{\pi}{7}+\sin^{2}\frac{\pi}{7})=i\)，不是实数，(4)错误。
(5)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\sin\frac{\pi}{7}-i\cos\frac{\pi}{7})=\cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+i(\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}-\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7})=\sin\frac{2\pi}{7}-i\cos\frac{2\pi}{7}\)，不是实数，(5)错误。
答案为(2)(3)。 報錯
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(1)在第一次投擲點數為6的情況下，第二次投擲點數為1才能使兩次點數和為7停止投擲，而投擲一次骰子出現點數1的概率為\(\frac{1}{6}\)，所以在第一次投擲的點數為6的情況下，總共投擲兩次就停的機率為\(\frac{1}{6}\)，(1)正確。
(2)總共投擲兩次就停止，即第一次投擲任意點數，第二次投擲的點數與第一次之和為7。第一次投擲有6種可能，無論第一次投出什麼，第二次投出特定點數使和為7的概率都是\(\frac{1}{6}\)，所以總共投擲兩次就停止的概率為\(\frac{1}{6}\)，(2)正確。
(3)在第一次投擲點數為5的情況下，第二次投擲不能為2（否則兩次就停止），概率為\(\frac{5}{6}\)，第三次投擲必須為2，概率為\(\frac{1}{6}\)，所以總共投擲三次恰好停止的概率為\(\frac{5}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{5}{36}<\frac{1}{6}\)，(3)錯誤。 (4)由(3)可知總共投擲三次恰好停止的概率為\(\frac{5}{36}<\frac{1}{6}\)，(4)錯誤。 (5)至少投擲三次才停止的概率 = 1 - （投擲一次停止的概率 + 投擲兩次停止的概率），投擲一次不可能停止，投擲兩次停止的概率為\(\frac{1}{6}\)，所以至少投擲三次才停止的概率為\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\neq\frac{1}{2}\)，(5)錯誤。答案為(1)(2)。 報錯
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