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數學

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109指考數學甲試題–B

考慮坐標平面上相異三點\(A\)、\(B\)、\(C\)，其中點\(A\)為\((1,1)\)。分別以線段\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)為直徑作圓，此兩圓交於點\(A\)及點\(P(4,2)\)。已知\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)且點\(B\)在第四象限，則點\(B\)的坐標為

[選填題]
答案
設\(B(x,y)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)。 因為\(\vert\overrightarrow{PB}\vert = 3\sqrt{10}\)，所以\((x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=90\) ①。 又因為\(\angle APB = 90^{\circ}\)（圓直徑所對圓周角為直角），\(\overrightarrow{AP}=(3,1)\)，\(\overrightarrow{PB}=(x - 4,y - 2)\)，\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=3(x - 4)+(y - 2)=0\)，即\(3x + y = 14\)，\(y = 14 - 3x\) ②。 把②代入①得：\((x - 4)^{2}+(14 - 3x - 2)^{2}=90\)，\((x - 4)^{2}+(12 - 3x)^{2}=90\)，\(x^{2}-8x + 16+144 - 72x + 9x^{2}=90\)，\(10x^{2}-80x + 70 = 0\)，\(x^{2}-8x + 7 = 0\)，\((x - 1)(x - 7)=0\)，解得\(x = 1\)（捨去，與\(A\)點重合）或\(x = 7\)。 把\(x = 7\)代入\(y = 14 - 3x\)得\(y=-7\)。所以點\(B\)的坐標為\((7,-7)\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題–C

有一個三角形公園，其三頂點為\(O\)、\(A\)、\(B\)，在頂點\(O\)處有一座150公尺高的觀景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點\(A\)、\(B\)與\(\overline{AB}\)的中點\(C\)，測得其俯角分別為30°、60°、45°。則此三角形公園的面積為 (化成最簡根式) 平方公尺。

[選填題]
答案
設觀景台頂點為\(O\)，\(OA = x\)，\(OB = y\)，\(OC = z\)。 由俯角的定義及正切函數可得：\(\tan30^{\circ}=\frac{150}{x}\)，則\(x = 150\sqrt{3}\)；\(\tan60^{\circ}=\frac{150}{y}\)，則\(y = 50\sqrt{3}\)；\(\tan45^{\circ}=\frac{150}{z}\)，則\(z = 150\)。 因為\(C\)是\(\overline{AB}\)的中點，根據向量知識或中線定理，在\(\triangle OAB\)中，由餘弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2\cdot OA\cdot OB}\)，且\(AB = 2z\)（中線性質）。 先求\(\cos\angle AOB\)，在\(\triangle OAC\)和\(\triangle OBC\)中，再用餘弦定理表示出\(AC^{2}=OA^{2}+OC^{2}-2\cdot OA\cdot OC\cdot\cos\angle AOC\)，\(BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\cdot OB\cdot OC\cdot\cos\angle BOC\)，又\(AC = BC = z\)。 由\(AC = BC\)可求出\(\cos\angle AOB = -\frac{1}{2}\)。 三角形公園\(\triangle OAB\)的面積\(S=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot\sin\angle AOB=\frac{1}{2}\times150\sqrt{3}\times50\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5625\sqrt{3}\)平方公尺。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-1)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，設\(y = f(x)\)的圖形在點\(D\)的切線方程式為\(y = ax + b\)，其中\(a\)，\(b\)為實數。求\(a\)，\(b\)之值。(2分)

[非選擇題]
答案
首先，根據貝茲曲線的性質，在點\(D(4,0)\)的切線斜率\(a\)等於函數\(y = f(x)\)在\(x = 4\)處的導數。 由於在點\(D\)的切線通過點\(C(3,2)\)，根據直線斜率公式\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)，可得切線斜率\(a=\frac{0 - 2}{4 - 3}=-2\)。 把\(D(4,0)\)代入切線方程\(y = -2x + b\)，可得\(0=-2\times4 + b\)，解得\(b = 8\)。 所以\(a=-2\)，\(b = 8\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-2)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，試證明多項式\(f(x)\)可以被\(x^{2}-4x\)所整除。(2分)

[非選擇題]
答案
因為\(f(x)\)是次數不超過3的多項式，且\(f(x)\)圖形通過\(A(0,0)\)和\(D(4,0)\)，所以\(f(0)=0\)，\(f(4)=0\)。 即\(x = 0\)和\(x = 4\)是\(f(x)\)的兩個根，根據多項式因式分解的性質，若\(x_1\)，\(x_2\)是多項式\(f(x)\)的根，則\((x - x_1)(x - x_2)\)是\(f(x)\)的一個因式。 所以\(x(x - 4)=x^{2}-4x\)是\(f(x)\)的一個因式，即多項式\(f(x)\)可以被\(x^{2}-4x\)所整除。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-3)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，試求\(f(x)\) 。(4分)

[非選擇題]
答案
由(2)知\(f(x)=x(x - 4)(mx + n)\)。 \(f(x)\)在\(x = 0\)處切線斜率可由在點\(A\)的切線通過點\(B(1,4)\)求得，\(f(x)\)在\(x = 0\)處切線斜率\(k_{AB}=\frac{4 - 0}{1 - 0}=4\)。 對\(f(x)=x(x - 4)(mx + n)=mx^{3}+(n - 4m)x^{2}-4nx\)求導得\(f'(x)=3mx^{2}+2(n - 4m)x - 4n\)，\(f'(0)=-4n\)，由\(f'(0)=4\)得\(n=-1\)。 又\(f(x)\)在\(x = 4\)處切線斜率\(a=-2\)（由(1)知），\(f'(4)=3m\times4^{2}+2(n - 4m)\times4 - 4n=-2\)，把\(n = -1\)代入得：\(48m+8(n - 4m)-4n=-2\)，即\(48m + 8(-1 - 4m)+4=-2\)， \(48m-8 - 32m + 4=-2\)，\(16m=2\)，解得\(m=\frac{1}{8}\)。 所以\(f(x)=\frac{1}{8}x(x - 4)(x - 2)=\frac{1}{8}(x^{3}-6x^{2}+8x)\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-4)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，求定積分\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx\) 。(4分)

[非選擇題]
答案
由(3)知\(f(x)=\frac{1}{8}(x^{3}-6x^{2}+8x)\)，則\(8f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\)。 令\(g(x)=x^{3}-6x^{2}+8x\)，對\(g(x)\)求導得\(g'(x)=3x^{2}-12x + 8\)，令\(g'(x)=0\)，解得\(x = 2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。 在區間\([2,6]\)上，\(g(x)\)在\([2,4]\)上非負，在\([4,6]\)上非正。 \(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx=\int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx-\int_{4}^{6}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx\)。 \(\int(x^{3}-6x^{2}+8x)dx=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+C\)。 \(\int_{2}^{4}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx = (\frac{1}{4}\times4^{4}-2\times4^{3}+4\times4^{2})-(\frac{1}{4}\times2^{4}-2\times2^{3}+4\times2^{2})=16 - 0 = 16\)。 \(\int_{4}^{6}(x^{3}-6x^{2}+8x)dx = (\frac{1}{4}\times6^{4}-2\times6^{3}+4\times6^{2})-(\frac{1}{4}\times4^{4}-2\times4^{3}+4\times4^{2})=(324 - 432 + 144)-(16 - 32 + 16)=36 - 16 = 20\)。 所以\(\int_{2}^{6}|8f(x)|dx=16-(-20)=36\) 。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-1)

一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試求點\(P\)的坐標。(2分)

[非選擇題]
答案
在已設定的坐標系中，\(C(0,1,0)\)，\(G(0,1,1)\)。 因為點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，根據中點坐標公式（若有兩點\(M(x_1,y_1,z_1)\)，\(N(x_2,y_2,z_2)\)，則其中點坐標為\((\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2},\frac{z_1 + z_2}{2})\)），可得\(P\)點坐標為\((0,1,\frac{1}{2})\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-2)

一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試求向量\(\overrightarrow{AR}\)（以\(t\)的式子來表示）。(2分)

[非選擇題]
答案
已知\(B(1,1,0)\)，\(\overline{BQ}=t\)，且\(F(1,1,1)\)，則\(Q\)點坐標為\((1,1,t)\)。 又\(A(1,0,0)\)，\(P(0,1,\frac{1}{2})\)，因為\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為平行四邊形的四個頂點，所以\(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{PR}\)。 \(\overrightarrow{AQ}=(1,1,t)-(1,0,0)=(0,1,t)\)。 設\(R(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{PR}=(x,y,z)-(0,1,\frac{1}{2})=(x,y - 1,z-\frac{1}{2})\)。 由\(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{PR}\)可得\(\begin{cases}x = 0\\y - 1 = 1\\z-\frac{1}{2}=t\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 0\\y = 2\\z=t + \frac{1}{2}\end{cases}\)，即\(R(0,2,t+\frac{1}{2})\)。 所以\(\overrightarrow{AR}=(0,2,t+\frac{1}{2})-(1,0,0)=(-1,2,t+\frac{1}{2})\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-3)

一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試證明四角錐\(G – AQPR\)的體積是一個定值（與\(t\)無關），並求此定值。(4分)

[非選擇題]
答案
\(\overrightarrow{AG}=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)\)，\(\overrightarrow{AQ}=(0,1,t)\)，\(\overrightarrow{AP}=(0,1,\frac{1}{2})\)。 四角錐\(G - AQPR\)的體積\(V=\frac{1}{3}S_{\triangle AQP}\cdot h\)（\(h\)為\(G\)到平面\(AQP\)的距離，在此處可利用向量混合積求體積\(V=\frac{1}{6}|\left(\overrightarrow{AG}\cdot(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP})\right)|\)）。 先求\(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&1&t\\0&1&\frac{1}{2}\end{vmatrix}=\vec{i}(\frac{1}{2}-t)-\vec{j}(0 - 0)+\vec{k}(0 - 0)=(\frac{1}{2}-t,0,0)\)。 再求\(\overrightarrow{AG}\cdot(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP})=(-1,0,1)\cdot(\frac{1}{2}-t,0,0)=-(\frac{1}{2}-t)\)。 則\(V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{AG}\cdot(\overrightarrow{AQ}\times\overrightarrow{AP})|=\frac{1}{6}|\frac{1}{2}-t|=\frac{1}{12}\)（與\(t\)無關）。 所以四角錐\(G - AQPR\)的體積是一個定值\(\frac{1}{12}\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-4)

一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，當\(t=\frac{1}{4}\)時，求點\(G\)到平行四邊形\(AQPR\)所在平面的距離。(4分)

[非選擇題]
答案

當\(t = \frac{1}{4}\)時，\(\overrightarrow{AQ}=(0,1,\frac{1}{4})\)，\(\overrightarrow{AP}=(0,1,\frac{1}{2})\)。
設平面\(AQPR\)的法向量為\(\vec{n}=(x,y,z)\)，則\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AQ}=y+\frac{1}{4}z = 0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=y+\frac{1}{2}z = 0\end{cases}\)，令\(z = - 4\)，可得\(y = 1\)，\(x = 0\)，即\(\vec{n}=(0,1,-4)\)。
\(\overrightarrow{AG}=( - 1,0,1)\)。
點\(G\)到平面\(AQPR\)的距離\(d=\frac{|\overrightarrow{AG}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\times(-1)+1\times0+(-4)\times1|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}\)。 報錯
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