數學

已知\(-3, -1, 4, 7\)滿足\(|x - a| \leq b\)，則區間\([a - b, a + b]\)需包含這四個數。
分析如下：確定\(a, b\)範圍：
數值中最小值\(-3\)，最大值7，故\(a - b \leq -3\)，\(a + b \geq 7\)，且區間長度\(2b \geq 10 \implies b \geq 5\)。取\(a = 2\)，\(b = 5\)時，區間\([-3, 7]\)恰好包含\(-3, -1, 4, 7\)。
選項分析：
（1）：\(\sqrt{10} \approx 3.16\)，滿足\(|-3| \leq 5\)且在\([-3, 7]\)內，正確。
（2）：\(|x + a| \leq b\)即\(|x + 2| \leq 5\)，解為\(-7 \leq x \leq 3\)。\(3, 1, -4, -7\)均在此區間內，正確。
（3）：\(|x - a| \leq \frac{b}{2}\)即\(|x - 2| \leq 2.5\)，區間\([-0.5, 4.5]\)。但\(-\frac{3}{2} = -1.5\)不在此區間，錯誤。
（4）：\(b \geq 5\)，不可能等於4，錯誤。
（5）：若\(a = b\)，區間\([0, 2a]\)無法包含\(-3\)，錯誤。
正確選項：（1）（2） 報錯
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選項（1）：
實係數多項式虛根成共軛對，\(1 + 2i\)是根，則\(1 - 2i\)必為根，正確。
選項（2）：
由\((x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = x^2 - 2x + 5\)，對\(f(x)\)作多項式長除法得餘式0，可得\(a = -26\)，\(b = -60\)，非正數，錯誤。
選項（3）：\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x - 26\)，計算\(f'(2.1)\)：\(4(2.1)^3 - 12(2.1)^2 - 4(2.1) - 26 < 0\)，正確。 選項（4）：\(f'(1) = 4 - 12 - 4 - 26 = -38 \neq 0\)，\(x = 1\)非極值點，錯誤。 選項（5）：\(f''(x) = 12x^2 - 24x - 4\)，令\(f''(x) = 0\)，解\(x = \frac{24 \pm \sqrt{768}}{24} 未必大於 0\)，錯誤。 報錯
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\( (\mathrm{i})|det(A)|表\vec{u},\vec{v},\vec{w}所夾之平行六面體體積\\(\mathrm{ii})det(A)=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\\(\mathrm{iii})\vec{w}同時垂直\vec{u},\vec{v}\\ (\mathrm{iv})\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=0代表\vec{u}//\vec{v}。 答案為(1)(4)(5)。 \) 報錯
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選項（1）：\(z = 2i\)，\(z^3 = (2i)^3 = -8i\)；\(4i\overline{z} = 4i(-2i) = 8\)，\(-8i \neq 8\)，錯誤。選項（2）：
設\(\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，代入\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，取模得\(r^3 = 4r\)（\(r \neq 0\)），解得\(r = 2\)，即\(|\alpha| = 2\)，正確。選項（3）：\(\beta = i\alpha\)，則\(\beta^3 = (i\alpha)^3 = -i\alpha^3\)。由\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，得\(\beta^3 = -i \cdot 4i\overline{\alpha} = 4\overline{\alpha}\)。又\(4i\overline{\beta} = 4i\overline{i\alpha} = 4\overline{\alpha}\)，故\(\beta^3 = 4i\overline{\beta}\)，正確。選項（4）：
由\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，\(|\alpha| = 2\)，代入三角形式解得主輻角最小為\(\frac{\pi}{8}\)（非\(\frac{\pi}{6}\)），錯誤。選項（5）：
方程\(z^3 = 4i\overline{z}\)兩邊乘z得\(z^4 = 16i\)，16i的四次方根有4個，錯誤。
最終答案：\(\boxed{(2)(3)}\) 報錯
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$令\angle A=\theta,\cos\angle MAN=\cos(60^{\circ}+\theta)\\
\cos(60^{\circ}+\theta)=\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta=\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\\
\Delta MAN中,\overline{MN}^2=1^2+(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}})^2-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{13}{3}$ 報錯
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兩平面\(E_1: 2x + 3y + 6z = 10\)與\(E_2: 2x + 3y + 6z = -4\)平行，先求兩平面距離：\(d = \frac{|10 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{14}{7} = 2\)
直線方向向量\(\vec{v} = (1, -2, 2)\)，平面法向量\(\vec{n} = (2, 3, 6)\)。計算\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 8\)，\(|\vec{v}| = 3\)，\(|\vec{n}| = 7\)，得\(\sin\theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|} = \frac{8}{21}\)。
截得線段長度\(L = \frac{d}{\sin\theta} = \frac{2}{\frac{8}{21}} = \frac{21}{4}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{21}{4}}\) 報錯
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$\begin{cases}恰有兩個8:C^4_2\times8\times7=336\\大於6400且最多只有一個8：\overset{64xx,65xx,67xx,68xx,69xx}{7\times6\times5}+\overset{7xxx,8xxx,9xxx}{8\times7\times6\times3}\end{cases}=1218$。答案為 $336+1218=1554$。 報錯
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將\(P(1, \frac{1}{2})\)代入\(f(x) = ax^2\)，得\(a = \frac{1}{2}\)。代入圓\(\Omega\)：\(1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} + b = 0\)，解得\(b = \frac{1}{4}\)。圓\(\Omega\)方程為\(x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2\)，圓心\(C(0, \frac{3}{2})\)。向量\(\overrightarrow{CO} = (0, -\frac{3}{2})\)，\(\overrightarrow{CP} = (1, -1)\)。餘弦值：\(\frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}| |\overrightarrow{CP}|} = \frac{0 \cdot 1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1)}{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)答案：\(\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) 報錯
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圓下半部分\(y = \frac{3}{2} - \sqrt{2 - x^2}\)，二次函數\(y = \frac{1}{2}x^2\)。利用對稱性，計算積分：\(2\int_{0}^{1} \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2 - x^2} - \frac{1}{2}x^2\right) dx\)計算得：\( \frac{5}{3} - \frac{\pi}{2}\) 報錯
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