坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 三 次 函 數 \( f(x)=x^{3}-9x^{2}+15x – 4\) 的 函 數 圖 形。試問下列何者為 \( f (x) \) 的導函數？
(1) \(x^{2}-9x + 15\)
(2) \(3x^{3}-18x^{2}+15x – 4\)
(3) \(3x^{3}-18x^{2}+15x\)
(4) \(3x^{2}-18x + 15\)
(5) \(x^{2}-18x + 15\)
答案
數學
111分科數學甲試題-03
坐標空間中\(O\)為原點，點\(P\)在第一卦限且\(\overline{OP}=1\)。已知直線\(OP\)與\(x\)軸有一夾角為\(45^{\circ}\)且\(P\)點到\(y\)軸的距離為\(\frac{\sqrt{6}}{3}\)。試選出點\(P\)的\(z\)坐標。(1)\(\frac{1}{2}\)(2)\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)(3)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)(4)\(\frac{\sqrt{6}}{6}\)(5)\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
[單選]
答案
設\(P(x,y,z)\) ，由\(\overline{OP}=1\)可得\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\) 。
直線\(OP\)與\(x\)軸夾角為\(45^{\circ}\) ，根據向量夾角公式\(\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{i}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{i}\vert}\)（\(\overrightarrow{i}\)為\(x\)軸正方向單位向量），則\(\cos45^{\circ}=\frac{x}{\overline{OP}}\)，即\(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) 。
又\(P\)點到\(y\)軸距離為\(\frac{\sqrt{6}}{3}\) ，即\(\sqrt{x^{2}+z^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\) ，把\(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)代入可得\(z=\frac{\sqrt{6}}{6}\) ，答案為(4)。 報錯
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111分科數學甲試題-04
設多項式\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\) ，\(g(x)=x^{2}+ax + 1\) ，其中\(k\)，\(a\)為實數。已知\(g(x)\)整除\(f(x)\) ，且方程式\(g(x)=0\)有虛根。試選出為方程式\(f(x)=0\)的根之選項。(1)\(-3\)(2)\(0\)(3)\(1\)(4)\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\)(5)\(\frac{3+\sqrt{-5}}{2}\)
[多選]
答案
因為\(g(x)\)整除\(f(x)\)，設\(f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m\) 。
對比\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\)的係數可得：\(a + m = 2\)，\(am + 1=-2\) ，解聯立方程得\(m = 3\)，\(a=-1\) 。
所以\(f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)\) ，對於一元二次方程\(x^{2}-x + 1 = 0\)，由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)（此處\(a = 1\)，\(b=-1\)，\(c = 1\)）可得根為\(x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\) ，所以\(f(x)=0\)的根為\(-3\)，\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) ，答案為(1)(4)。 報錯
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111分科數學甲試題-05
坐標平面上有一圖形\(\Gamma\)，其方程式為\((x – 1)^{2}+(y – 1)^{2}=101\) 。試選出正確的選項。(1)\(\Gamma\)與\(x\)軸負向、\(y\)軸負向分別交於\((-9,0)\)、\((0,-9)\)(2)\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是點\((11,0)\)(3)\(\Gamma\)上的點與原點距離的最大值為\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\)(4)\(\Gamma\)在第三象限的點之極坐標可用\([9,\theta]\)表示，其中\(\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi\)(5)\(\Gamma\)經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含\(xy\)項的二元二次方程式表示
[多選]
答案
令\(y = 0\) ，則\((x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101\) ，即\((x - 1)^{2}=100\) ，解得\(x - 1=\pm10\) ，\(x = 11\)或\(x=-9\) ；令\(x = 0\) ，則\((0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101\) ，即\((y - 1)^{2}=100\) ，解得\(y - 1=\pm10\) ，\(y = 11\)或\(y=-9\) ，所以(1)正確。
圓的標準方程為\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，此圓圓心為\((1,1)\) ，半徑\(r=\sqrt{101}\) ，\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是\((1+\sqrt{101},1)\) ，(2)錯誤。
圓心\((1,1)\)到原點距離為\(\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}\) ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\) ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑\(\sqrt{101}>9\) ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含\(xy\)項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。 報錯
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111分科數學甲試題-06
假設2階方陣\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)所代表的線性變換將坐標平面上三點\(O(0,0)\) 、\(A(1,0)\) 、\(B(0,1)\)分別映 射到\(O(0,0)\) ，\(A'(3,\sqrt{3})\) ，\(B'(-\sqrt{3},3)\) ，並將與原點距離為1的點\(C(x,y)\)映射到點\(C'(x’,y’)\) 。試選出正確的選項。(1)行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6\)(2)\(\overline{OC’}=2\sqrt{3}\)(3)\(\overrightarrow{OC}\)和\(\overrightarrow{OC’}\)的夾角為\(60^{\circ}\)(4)有可能\(y = y’\)(5)若\(x < y\)則\(x’ < y’\)
[多選]
答案
由線性變換性質，\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}\)得\(a = 3\)，\(c=\sqrt{3}\)；\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}\)得\(b=-\sqrt{3}\)，\(d = 3\)。行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12\)，(1)錯誤。\(\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}\)，\(\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}\)，(2)正確。\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3\)，\(\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，夾角為\(30^{\circ}\)，(3)錯誤。令\(y = y'\)，即\(-\sqrt{3}x + 3y = y\)，\(x=\frac{2y}{\sqrt{3}}\)，有可能成立，(4)正確。取\(x = 0\)，\(y = 1\)，\(x'=-\sqrt{3}\)，\(y' = 3\)，此時\(x < y\)，但\(x' < y'\)不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。 報錯
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111分科數學甲試題-07
假設\(A\)，\(B\)為一拋物線\(\Gamma\)上兩點且其連線段通過\(\Gamma\)的焦點\(F\) 。設\(A\)，\(F\)，\(B\)在\(\Gamma\)之準線上的投影分別為\(A’\) ，\(F’\) ，\(B’\) 。試選出等於\(\frac{\overline{A’F’}}{\overline{A’A}}\)的選項。(注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確)
(1)\(\tan\angle1\)，其中\(\angle1=\angle A’F’A\)(2)\(\sin\angle2\)，其中\(\angle2=\angle AF’F\)(3)\(\sin\angle3\)，其中\(\angle3=\angle A’AF\)(4)\(\cos\angle4\)，其中\(\angle4=\angle F’FB\)(5)\(\tan\angle5\)，其中\(\angle5=\angle FF’B\)
111分科數學甲試題-08
假設兩數列\(\lt a_{n}\gt\)、\(\lt b_{n}\gt\) ，對所有正整數\(n\)都滿足\(b_{n}+\frac{4n – 1}{n}\lt a_{n}\lt 3b_{n}\) 。已知\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=6\) ，試選出正確的選項。
(1)\(b_{n}\lt6-\frac{4n – 1}{n}\)(2)\(b_{n}\gt\frac{4n – 1}{2n}\)(3)數列\(\lt b_{n}\gt\)有可能發散
(4)\(a_{10000}\lt6.1\)(5)\(a_{10000}\gt5.9\)
答案
111分科數學甲試題-09
大吉百貨春節期間準備許多紅包讓顧客抽籤得紅包，並宣稱活動會一直持續到送 出所有的紅包。抽籤的籤筒內有5支籤、其中只有1支籤有標示「大吉」，且每支籤被抽中的機會均等。每位顧客從籤筒中抽取一支籤記錄後，將籤放回籤筒再抽下一回，最多抽取3回。當抽取過程中出現連續兩回抽中「大吉」，則該顧客停止抽籤並得到紅包。我們可將每位顧客抽籤是否得到紅包視為一次伯努力試驗。設整個活動第一個得到紅包的顧客是第\(X\)位抽籤的顧客，並以\(E(X)\)表示隨機變數\(X\)的期望值，則\(E(X)=(9 – 1)(9 – 2)\) 。(四捨五入到整數位)
[選填]
答案
先求一次抽籤得到紅包的概率\(p\)。抽中「大吉」概率為\(\frac{1}{5}\)。連續兩回抽中「大吉」有兩種情況：前兩回抽中，概率為\((\frac{1}{5})^2\)；第一回未中，後兩回抽中，概率為\(\frac{4}{5}\times(\frac{1}{5})^2\)，所以\(p = (\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}\times(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}+\frac{4}{125}=\frac{9}{125}\)。由伯努利試驗的期望公式\(E(X)=\frac{1}{p}\)，可得\(E(X)=\frac{125}{9}\approx14\)。 報錯
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111分科數學甲試題-10
老師要求班上學藝安排在週一、二、三、四這\(4\)天，發國、英、數、社、自共\(5\)張複習卷，每天至少發其中一科的卷子給同學帶回家練習，隔天繳交。由於週二有國、英兩門課，國文老師要求國文的卷子一定要在週一發出以便檢討；而英文老師因為當天另有指派作業，所以要求英文的卷子不要在週二發出。依此要求，學藝共有多少種安排方式？
[選填]
答案
1. 先從除國文和英文外的數學、社、自\(3\)門學科中選\(1\)門安排在週二，根據組合數公式\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)，此處\(n = 3\)，\(k = 1\)，則\(C_{3}^1=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3!}{1!2!}=\frac{3\times2!}{2!}=3\)種選法。
2. 將剩下的英文以及另外\(2\)門未安排在週二的學科，共\(3\)門，全排列安排在週二（已安排\(1\)門，還可再排）、週三、週四這\(3\)天，根據排列數公式\(A_{n}^k=\frac{n!}{(n - k)!}\)，此處\(n = 3\)，\(k = 3\)，則\(A_{3}^3=\frac{3!}{(3 - 3)!}=3!=3\times2\times1 = 6\)種排法。
3. 根據分步乘法計數原理，總的安排方式有\(C_{3}^1\times A_{3}^3 = 3\times6 = 18\)種。 報錯
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111分科數學甲試題-11
在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(\vert z\vert = 1\)以及\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，其中\(i = \sqrt{-1}\)，\(z\)的實部為\(a\)、虛部為\(b\)，則\(a=\)__________ ，\(b=\)__________ (化為最簡根式)
[選填]
答案
由\(\vert z\vert = 1\)，可設\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)。已知\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，將\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)代入，利用複數模的性質\(\vert z_1 - z_2\vert^2=(z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2})\)，化簡可得\(\cos3\theta=\cos\theta\)。結合\(z\)在第一象限，可得\(\theta = \frac{\pi}{4}\) ，所以\(z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 。原答案格式中的空缺部分，經計算\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}\)可表示為\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{4}}{2\sqrt{2}}\) ，\(b=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1\times\sqrt{2}}{2}\) （此處是為了對應原格式，但原格式表述可能有誤 ，正確答案以\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\)為準） 報錯
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