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04 – 113學測數學b試題16

在空間坐標系中，有一球心坐標在 \( O(0,0,0) \) 且北極點在 \( N(0,0,2) \) 的地球儀。已知球面上點 \( A \) 坐標為 \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \sqrt{3} \right) \)，赤道上距離點 \( A \) 最遠的點為點 \( P \)，則在通過點 \( A \)、點 \( P \) 的大圓上這兩點的劣弧長為 \( \frac{\Box}{\Box} \pi \)（化為最簡分數）

[選填]
答案

1. 球半徑 \( R=2 \)，驗證 \( A \) 在球面上。
2. 赤道為 \( z=0 \) 的大圓。
3. 赤道上離 \( A \) 最遠點 \( P \) 對應向量與 \( \vec{OA} \) 夾角最大。
4. 計算得 \( \vec{OA} \cdot \vec{OP} \) 最小時 \( \cos\theta = -\frac{1}{2} \)，夾角 \( \theta = \frac{2\pi}{3} \)。
5. 大圓劣弧長 \( = R\theta = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \)。 報錯
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04 – 113學測數學b試題18

題組說明18-20
地球受到太陽照射過來的紫外線強度以 UVI 數值表示，一單位 UVI 的照射強度相當於每平方公尺 100 焦耳的能量。根據上述，試回答下列問題。
單選題 18.已知 UVI 數值與所在高度呈指數關係：高度每上升 300 公尺，其 UVI 數值增加上升前的 4%。在地平面上接收到太陽發出每平方公尺 400 焦耳的紫外線，則到了離地平面 4500 公尺高的山上，接收到紫外線的 UVI 數值為下列哪一個選項？
(1) \( 4(1+0.04 \times 15) \)
(2) \( 4(1+0.04^{15}) \)
(3) \( 4(1+0.04)^{15} \)
(4) \( 4 \times 100 (1+0.04)^{15} \)
(5) \( 4 \times 100 (1+0.04^{45}) \)

題組說明18-20
非選擇題,19,”已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 \( x \) 小時 (\( 0 \leq x \leq 12 \)) 的 UVI 數值，可用函數 \( f(x) = a \sin(bx) \) 來表示，其中 \( a, b > 0 \)。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 \( f(0) = f(12) = 0 \)），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 \( a, b \) 之值。

題組說明18-20
非選擇題,20,承 19 題，今某人要在該日 UVI 數值介於 \( 4\sqrt{2} \) 和 \( 4\sqrt{3} \) 之間（含）時做日光浴。將他可以做日光浴的時間設為日出後 \( t \) 小時，試求 \( t \) 的最大可能範圍。

[非選擇題]
答案

(3)
地面 UVI = \( \frac{400}{100} = 4 \)
高度倍率 = \( (1+0.04)^{4500/300} = (1.04)^{15} \)
∴ 山上 UVI = \( 4 \times (1.04)^{15} \)

\( a = 8 \), \( b = \frac{\pi}{12} \)
由 \( f(12) = a \sin(12b) = 0 \) 得 \( 12b = \pi \Rightarrow b = \frac{\pi}{12} \)
由 \( f(2) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2} = 4 \Rightarrow a = 8 \)

\( 3 \leq t \leq 4 \) 與 \( 8 \leq t \leq 9 \)
\( 4\sqrt{2} \leq 8 \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq 4\sqrt{3} \)
⇒ \( \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \)
⇒ \( \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{12}t \leq \frac{\pi}{3} \) 或 \( \frac{2\pi}{3} \leq \frac{\pi}{12}t \leq \frac{3\pi}{4} \)
⇒ \( 3 \leq t \leq 4 \) 或 \( 8 \leq t \leq 9 \) 報錯
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04 – 113學測數學b試題19

題組說明18-20
非選擇題,19,”已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 \( x \) 小時 (\( 0 \leq x \leq 12 \)) 的 UVI 數值，可用函數 \( f(x) = a \sin(bx) \) 來表示，其中 \( a, b > 0 \)。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 \( f(0) = f(12) = 0 \)），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 \( a, b \) 之值。

[非選擇]
答案

\( a = 8 \), \( b = \frac{\pi}{12} \)
由 \( f(12) = a \sin(12b) = 0 \) 得 \( 12b = \pi \Rightarrow b = \frac{\pi}{12} \)
由 \( f(2) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2} = 4 \Rightarrow a = 8 \) 報錯
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04 – 113學測數學b試題20

題組說明18-20
非選擇題,20,承 19 題，今某人要在該日 UVI 數值介於 \( 4\sqrt{2} \) 和 \( 4\sqrt{3} \) 之間（含）時做日光浴。將他可以做日光浴的時間設為日出後 \( t \) 小時，試求 \( t \) 的最大可能範圍。

[非選擇]
答案

\( 3 \leq t \leq 4 \) 與 \( 8 \leq t \leq 9 \)
\( 4\sqrt{2} \leq 8 \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq 4\sqrt{3} \)
⇒ \( \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \)
⇒ \( \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{12}t \leq \frac{\pi}{3} \) 或 \( \frac{2\pi}{3} \leq \frac{\pi}{12}t \leq \frac{3\pi}{4} \)
⇒ \( 3 \leq t \leq 4 \) 或 \( 8 \leq t \leq 9 \) 報錯
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112學測數學B試題-01

某抽水站發現其用電量（單位：度）與抽水馬達轉速（單位：rpm）的三次方成正比。根據上述,試問下列這五個圖中,哪一個最可以描述此抽水站的用電量 \(y\)（度）與抽水馬達轉速 \(x\)（rpm）的對應關係？

[單選]
答案

設 \(y = kx^{3}\)（\(k\gt0\)）,這是一個奇函數,當 \(x\gt0\) 時,函數單調遞增且為凸函數（\(y^\prime = 3kx^{2}\),\(y^{\prime\prime}=6kx\gt0\)）,從左到右上升趨勢越來越快。符合此特征的圖像為過原點且在第一象限上升趨勢逐漸變快的曲線,答案需根據具體圖形判斷。 報錯
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https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

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112學測數學B試題-02

考慮實數二階方陣 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，若 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -9 & -7 \end{bmatrix}\)，則 \(c – 2b\) 的值為何？
(1) -11
(2) -4
(3) 1
(4) 10
(5) 11

[單選]
答案

1. 逐步計算矩陣乘法：
- 先計算 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \times 1 + b \times 0 & a \times 0 + b \times (-2) \\ c \times 1 + d \times 0 & c \times 0 + d \times (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -2b \\ c & -2d \end{bmatrix}\)
- 再計算 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & -2b \\ c & -2d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times a + 1 \times c & 0 \times (-2b) + 1 \times (-2d) \\ 1 \times a + 0 \times c & 1 \times (-2b) + 0 \times (-2d) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & -2d \\ a & -2b \end{bmatrix}\)
2. 對應等式 \(\begin{bmatrix} c & -2d \\ a & -2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -9 & -7 \end{bmatrix}\)，可得：
- \(c = 3\)
- \(-2b = -7 \implies b = \frac{7}{2}\)
3. 計算 \(c - 2b\)：
\(c - 2b = 3 - 2 \times \frac{7}{2} = 3 - 7 = -4\)，故答案為(2)。 報錯
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https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

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112學測數學B試題-03

地面上有甲、乙兩大樓,已知甲的高度大於乙,且甲、乙兩大樓的水平距離為 \(150\) 公尺。某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂,並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為 \(22^{\circ}\)。假設該繩索被拉成直線,試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？（註：眼睛往下看目標物時,視線與水平線間的夾角稱為俯角）(1) \(150\) (2) \(150\sin 22^{\circ}\) (3) \(150\cos 22^{\circ}\) (4) \(\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\) (5) \(\frac{150}{\sin 22^{\circ}}\)

[單選]
答案

設繩索長度為 \(l\),在由甲乙兩樓頂和水平距離構成的直角三角形中,水平距離為 \(150\) 公尺,俯角為 \(22^{\circ}\),繩索長度 \(l\) 與水平距離的關系為 \(\cos22^{\circ}=\frac{150}{l}\),則 \(l=\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\)。答案：(4) 報錯
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https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

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112學測數學B試題-04

某校期中考試有 \(29\) 名考生,且成績均相異,統計後得到位於第 \(25\)、第 \(50\)、第 \(75\) 與第 \(95\) 百分位數的考生成績分別為 \(41\)、\(60\)、\(74\) 與 \(92\) 分。後來發現成績有誤需要調整分數,成績較高的前 \(15\) 名學生的分數應該要各加 \(5\) 分,其餘學生成績不變。假設調整後第 \(25\)、第 \(50\)、第 \(75\) 與第 \(95\) 百分位數的考生成績分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\) 與 \(d\) 分,則數組 \((a, b, c, d )\) 為下列哪個選項？(1) \((41, 60, 74, 92)\) (2) \((41, 60, 74, 97)\) (3) \((41, 65, 79, 97)\) (4) \((46, 65, 79, 92)\) (5) \((46, 65, 79, 97)\)

[單選]
答案

因為前 \(15\) 名成績改變,而 \(29\times25\% = 7.25\),\(29\times50\% = 14.5\),\(29\times75\% = 21.75\),\(29\times95\% = 27.55\),第 \(25\) 百分位數不受前 \(15\) 名成績調整影響,所以 \(a = 41\)；第 \(50\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(60 + 5 = 65\)；第 \(75\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(74 + 5 = 79\)；第 \(95\) 百分位數在調整範圍內,變為 \(92 + 5 = 97\)。數組為 \((41, 65, 79, 97)\)。答案：(3) 報錯
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https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

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112學測數學B試題-05

袋子裡有編號分別為 \(1, 2, \cdots, 100\) 的 \(100\) 顆球,某甲從袋中隨機抽取一球,每顆球被抽到的機率均相等。試問在下列哪個選項的條件下,某甲抽到 \(7\) 號球的條件機率最大？(1) 某甲抽到球的號碼是奇數(2) 某甲抽到球的號碼是質數(3) 某甲抽到球的號碼是 \(7\) 的倍數(4) 某甲抽到球的號碼不是 \(5\) 的倍數(5) 某甲抽到球的號碼小於 \(10\)

[單選]
答案

分別計算各條件下抽到 \(7\) 號球的條件機率。(1) 奇數有 \(50\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{50}\)；(2) \(1 - 100\) 中質數個數有限,抽到 \(7\) 號球的條件機率小於 \(\frac{1}{25}\)；(3) \(7\) 的倍數有 \(\lfloor\frac{100}{7}\rfloor = 14\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{14}\)；(4) 不是 \(5\) 的倍數有 \(100 - \lfloor\frac{100}{5}\rfloor = 80\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{80}\)；(5) 小於 \(10\) 的數有 \(9\) 個,抽到 \(7\) 號球的條件機率為 \(\frac{1}{9}\)。比較可得,(5) 的條件機率最大。答案：(5) 報錯
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https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

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