數學

地球經線上的弧長對應**球心角**的計算公式為：弧長\( l = \theta r \)（\( \theta \)為球心角弧度值）。

已知弧長\( l = \frac{7}{12}\pi r \)，代入公式得：
\[
\theta = \frac{l}{r} = \frac{7}{12}\pi \text{ 弧度 報錯
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**略解：**

1. 方向向量為 \((1,a)\)，所以直線方程為 \(y = a x\)。
(1) 說「斜率為 \(a\)」正確，因為方向向量 (1,a) 對應斜率 \(a\)，且過原點。
**⇒ (1) 正確**

2. 檢查 \(a = \frac{3}{2}\) 時是否擊中圓心 (4,6) 的圓盤：
圓心 (4,6)，半徑 1。
直線 \(y = \frac{3}{2}x\) 到圓心 (4,6) 的距離：
點到直線距離公式：直線 \(y = \frac{3}{2}x\) 可寫為 \(3x - 2y = 0\)。
距離 \(d = \frac{|3\cdot 4 - 2\cdot 6|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}} = \frac{|12-12|}{\sqrt{13}} = 0\)。
距離 0 表示直線通過圓心，一定擊中。
**⇒ (2) 正確**

3. 能否一發擊中三個圓盤？
即找一條過原點的直線，與三個圓（圓心半徑 1）都相交。
圓心 (2,2) 與原點距離 \(\sqrt{8} \approx 2.828\)，半徑 1，原點在圓外。
圓心 (4,6) 與原點距離 \(\sqrt{52} \approx 7.211\)，半徑 1。
圓心 (8,1) 與原點距離 \(\sqrt{65} \approx 8.062\)，半徑 1。
從原點出發的射線要穿過三個圓，需要三個圓的「視線範圍」有重疊。
我們可以畫圖想像：
- 圓 (2,2) 的視線角範圍：從原點看圓心 (2,2) 方向角 45°，半徑 1 造成的角半徑約 \(\arcsin(1/\sqrt{8}) \approx \arcsin(0.3536) \approx 20.7°\)。
- 圓 (4,6) 方向角 \(\theta = \arctan(6/4) = \arctan(1.5) \approx 56.31°\)，角半徑 \(\arcsin(1/\sqrt{52}) \approx \arcsin(0.1387) \approx 7.97°\)。
- 圓 (8,1) 方向角 \(\theta = \arctan(1/8) \approx 7.125°\)，角半徑 \(\arcsin(1/\sqrt{65}) \approx \arcsin(0.1240) \approx 7.12°\)。
這些角區間：
圓1：\(45° \pm 20.7°\) → 約 [24.3°, 65.7°]
圓2：\(56.31° \pm 7.97°\) → 約 [48.34°, 64.28°]
圓3：\(7.125° \pm 7.12°\) → 約 [0.005°, 14.245°]
圓3 的區間與前兩個完全不重疊，所以不可能一直線同時穿過圓3 與圓1、圓2。
**⇒ (3) 錯誤**

4. 至少需要幾發？
因為圓3 與圓1、圓2 的角範圍無重疊，所以一發最多擊中兩個圓（圓1 與圓2 有可能同時擊中，但圓3 必須另一發）。
所以至少需要 2 發，不是 3 發。
**⇒ (4) 錯誤**

5. 擊中圓心 (8,1) 的圓盤時 \(a \le \frac{16}{63}\)？
圓心 (8,1)，半徑 1。直線 \(y=ax\) 與圓 \((x-8)^2+(y-1)^2=1\) 有交點（且交點在 \(x>0\) 射線部分）。
代入 \(y=ax\)：
\[
(x-8)^2 + (ax - 1)^2 = 1
\]
\[
x^2 - 16x + 64 + a^2 x^2 - 2a x + 1 = 1
\]
\[
(1+a^2)x^2 - (16+2a)x + 64 = 0
\]
要有實數解：判別式 \(D \ge 0\)
\[
(16+2a)^2 - 4(1+a^2)\cdot 64 \ge 0
\]
\[
256 + 64a + 4a^2 - 256 - 256a^2 \ge 0
\]
\[
64a + 4a^2 - 256a^2 \ge 0
\]
\[
64a - 252a^2 \ge 0
\]
\[
a(64 - 252a) \ge 0
\]
因 \(a>0\)，得 \(64 - 252a \ge 0 \Rightarrow a \le \frac{64}{252} = \frac{16}{63}\)。
但這是「有交點」的條件，但交點必須在 \(x>0\) 且是射線方向（即從原點出發的第一個交點在圓上）。
我們已得 \(a \le \frac{16}{63}\) 時，直線與圓有交點。
但需檢查是否為「擊中」：原點到圓心的距離大於半徑，直線若與圓有交點，則射線會擊中圓（因為原點在圓外，直線與圓有兩個交點，射線會先碰到一個）。
所以條件正確。
**⇒ (5) 正確**

正確選項：**(1)(2)(5)** 報錯
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1. 將\(x = 1\)代入\(f(x) = 2x^{3}-3x + 1\),得\(f(1)=2 - 3 + 1 = 0\),所以\(y = f(x)\)的圖形通過點\((1,0)\),(1)正確。
2. 對\(f(x)\)求導\(f^\prime(x)=6x^{2}-3\),令\(f^\prime(x)=0\),解得\(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(f(x)\)在\(x\)軸上不止一個交點,(2)錯誤。
3. 三次函數\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)的對稱中心為\((-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))\),\(f(x) = 2x^{3}-3x + 1\)中\(b = 0\),對稱中心為\((0,f(0))=(0,1)\),(3)錯誤。
4. 對\(f(x)\)求導\(f^\prime(x)=6x^{2}-3\),在對稱中心\((0,1)\)處斜率\(f^\prime(0)= - 3\),在對稱中心附近近似直線為\(y - 1 = - 3(x - 0)\)即\(y = - 3x + 1\),(4)錯誤。
5. \(y = 3x^{3}-6x^{2}+2x\)與\(y = 2x^{3}-3x + 1\)三次項係數不同,不能由平移得到,(5)錯誤。答案：(1) 報錯
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1. 對於甲班,令\(y_1 = 0.8x_1 + 20\),若\(x_1 = 0\),\(y_1 = 20\lt0\),(1)錯誤。
2. 甲班調整後平均分\(60 = 0.8\overline{x_1}+20\),解得\(\overline{x_1}=50\)；乙班調整後平均分\(60 = 0.75\overline{x_2}+25\),解得\(\overline{x_2}=46\frac{2}{3}\),甲班原始分數平均分比乙班高,(2)正確。
3. 甲班標準差\(\sigma_{y_1}=16\),由\(y_1 = 0.8x_1 + 20\),則\(\sigma_{x_1}=\frac{\sigma_{y_1}}{0.8}=20\)；乙班標準差\(\sigma_{y_2}=15\),由\(y_2 = 0.75x_2 + 25\),則\(\sigma_{x_2}=\frac{\sigma_{y_2}}{0.75}=20\),兩班原始分數標準差一樣高,(3)錯誤。
4. 若\(y_1 \gt y_2\),即\(0.8x_1 + 20 \gt 0.75x_2 + 25\),不能直接得出\(x_1 \gt x_2\),(4)錯誤。
5. 甲班\(y_1 = 0.8x_1 + 20\lt60\),解得\(x_1\lt50\)；乙班\(y_2 = 0.75x_2 + 25\lt60\),解得\(x_2\lt46\frac{2}{3}\),甲班調整後不及格人數多,原始分數不及格人數不一定多,(5)錯誤。答案：(2) 報錯
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1. 對於\(y = a(x - 2)^{2}+b(x - 2)+c\),令\(t = x - 2\),則方程變為\(at^{2}+bt + c = 0\),相當於原方程向右平移\(2\)個單位,根落在\(3\)和\(5\)之間,(1)錯誤。
2. 對於\(y = a(x + 2)^{2}+b( x + 2)+c\),令\(t = x + 2\),則方程變為\(at^{2}+bt + c = 0\),相當於原方程向左平移\(2\)個單位,根落在\(-1\)和\(1\)之間,(2)錯誤。
3. 對於\(y = a(2x - 7)^{2}+b(2x - 7)+c\),令\(t = 2x - 7\),則\(x=\frac{t + 7}{2}\),原方程根\(1\lt x\lt3\),則\(1\lt\frac{t + 7}{2}\lt3\),解得\(-5\lt t\lt -1\),(3)錯誤。
4. 對於\(y = a(2x + 7)^{2}+b(2x + 7)+c\),令\(t = 2x + 7\),則\(x=\frac{t - 7}{2}\),原方程根\(1\lt x\lt3\),則\(1\lt\frac{t - 7}{2}\lt3\),解得\(9\lt t\lt13\),(4)錯誤。
5. 對於\(y = a(3x - 11)^{2}+b(3x - 11)+c\),令\(t = 3x - 11\),則\(x=\frac{t + 11}{3}\),原方程根\(1\lt x\lt3\),則\(1\lt\frac{t + 11}{3}\lt3\),解得\(-8\lt t\lt -2\),(5)錯誤。無正確選項 報錯
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1. 由 \( 2 \log y = 1 \) 得
\[
\log y = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = 10^{1/2} = \sqrt{10}.
\]
因此
2. 由 \( x^{-1/3} y^2 = 1 \) 得
\[
x^{-1/3} \cdot 10 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^{-1/3} = \frac{1}{10}.
\]
取倒數再立方：
\[
x^{1/3} = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 10^3 = 1000.
\]

3. 計算
\[
\frac{x - y^2}{10} = \frac{1000 - 10}{10} = \frac{990}{10} = 99.
\]

**答案：** \( \boxed{99} \) 報錯
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在\(\triangle AOB\)中,\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert = 7\),\(\vert\overrightarrow{AB}\vert = 8\)。根據余弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{OB}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}}{2\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{7^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\times7\times7}=\frac{49 + 49 - 64}{98}=\frac{34}{98}=\frac{17}{49}\)。則\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos\angle AOB = 7\times7\times\frac{17}{49}=17\)。即\(\underline{○14 - 1}=17\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。 報錯
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1. 設事件\(A\)表示“輕航機被找到”,事件\(B\)表示“輕航機裝設緊急定位傳送器”。
2. 已知\(P(A)=0.7\),\(P(B|A)=0.6\),\(P(\overline{A}) = 1 - 0.7 = 0.3\),\(P(\overline{B}|\overline{A}) = 0.9\),則\(P(B|\overline{A}) = 1 - 0.9 = 0.1\)。
3. 由全機率公式\(P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0.7×0.6 + 0.3×0.1 = 0.42 + 0.03 = 0.45\)。
4. 再根據貝葉斯公式\(P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0.7×0.6}{0.45}=\frac{42}{45}=\frac{14}{15}\),即\(\underline{○15 - 1}=14\),\(\underline{○15 - 2}=15\),\(\underline{○15 - 3}=0\),\(\underline{○15 - 4}=0\)。 報錯
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