數學模考

若現在時間為中午 12 點整，經過若干時間後，時鐘上的時針與分針將第一次重疊在一起，試問此時時針與中午 12 點時的時針，所夾之銳角 \(\theta\) 為多少弧度？
(1) \(\frac{1}{7}\pi\)
(2) \(\frac{1}{6}\pi\)
(3) \(\frac{2}{11}\pi\)
(4) \(\frac{2}{9}\pi\)
(5) \(\frac{1}{5}\pi\)

試問當 \(-2\pi \leq x \leq 2\pi\) 時，有多少個實數 \(x\) 滿足方程式 \(\sin 3x = 3\sin x\)（已知當 \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{6}\) 時，無實數解）。
(1) 3
(2) 5
(3) 7
(4) 9
(5) 10 個以上

設 x 與 y 的關係式為 \(y = 8\log \left( \frac{x}{3} \right)^2\)，且當 \(x = x_1, x_2\) 時，其對應的 y 值分別為 \(y_1, y_2\)，其中 \(x_1, x_2\) 為正實數，若 \(x_2 = 9x_1\)，則對於 \(y_1, y_2\) 的關係，試選出正確的選項。
(1) \(y_2 = 9y_1\)
(2) \(y_2 = 8\log \left( 9y_1 \right)\)
(3) \(y_2 = 8y_1 – 2\log 3\)
(4) \(y_2 = y_1 + 32\log 3\)
(5) \(y_2 = y_1 + 2\log 3\)

臺灣大約位於東經 120 度北緯 24 度，而在同緯度的地球另一側，即西經 60 度北緯 24 度，恰好為有名的百慕達三角。今有半徑 12 公分的地球儀，令 A 點為東經 120 度北緯 24 度、B 點為西經 60 度北緯 24 度，試問在球面上 A、B 點的最短距離為幾公分？
(1) \(\frac{44}{5}\pi\)
(2) \(12\pi \times \cos 24^\circ\)
(3) \(12\pi \times \sin 24^\circ\)
(4) \(12\pi\)
(5) \(24\pi\)

不等式
\[\begin{cases}
|x – n| \lt a \\
|x – n| \gt b
\end{cases}\]
其中 n 為整數，a、b 為正實數且 $a \gt b$。已知此不等式共有 10 個整數解，試求 a – b 的最大值。
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
(5) 6

在物理及化學實驗中，常常對實驗數據進行函數變換，以方便觀察資料的關係。下表中的 X、Y 為原始實驗數據，觀察 Y 的數據後，實驗人員以 Z = \(\log_2 Y\) 進行函數變換，試選出正確的選項。

(1) X、Y 的相關係數等於 X、Z 的相關係數
(2) X、Z 為完全正相關
(3) 令 Y 的標準差為 \(\sigma_y\)，Z 的標準差為 \(\sigma_z\)，則 \(\sigma_z = \log_2 \sigma_y\)
(4) X 的標準差 σ_X 為 2 \(\sqrt{3}\)
(5) Z 對 X 的最適直線（迴歸直線）為 \(Z = 0.5X\)

今三次函數 \(f(x) = x^3 – 2ax^2 + 3ax – a\)，一次函數 \(g(x) = b(x-2) + 1\)，已知 \(f(x)\) 的圖形對稱中心的 x 坐標為 2，試選出正確的選項。
(1) \(a = 3\)
(2) \(a = -3\)
(3) \(f(x)\) 的圖形對稱中心的 y 坐標為 -1
(4) 當 \(b = 4\) 時，則方程式 \(y = f(x) + g(x)\) 的圖形與 x 軸恰有一個交點
(5) 當 \(b = 1\) 時，則方程式 \(y = f(x) + g(x)\) 的圖形與 x 軸恰有三個交點