〈數學模考〉彙整頁面 - 第 8 頁，總計 10 頁

113學測數學A1模考3-11

平行四邊形\(ABCD\)，已知\(P\)為\(BC\)上一點，且\(\overrightarrow{AP} = a \overrightarrow{AB} + b \overrightarrow{AD}\)，其中\(P \neq B\)且\(P \neq C\)，\(\overrightarrow{AQ} = b \overrightarrow{AB} + a \overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AR} = (a-0.1)\overrightarrow{AB} + b \overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AC})\)。試選出正確的選項。
(1) \(Q\)必落在\(CD\)上
(2) \(S\)必落在\(AC\)上
(3) \(R\)必落在\(\triangle ABC\)內部
(4) \(1 \lt a + b \lt 2\)
(5) \(\triangle ACP\)面積與\(\triangle ACQ\)面積相等

[多選題]

答案

(1)(2)(4)(5)

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113學測數學A1模考3-12

某班共有36位學生，某天他們決定用猜拳最輸者擔任當日的值日生，每次猜贏者離開，沒猜贏者繼續猜。但是他們為了要幾個人一組猜拳爭論不休。已知每個人每次出剪刀、石頭、布三種拳的機會均等，假設\(P_n\)為\(n\)個人一組猜拳一次平手的機率，其中\(n \ge 2, n \in N\)。試選出正確的選項。
(1) 甲生說：\(P_3 = \frac{9}{27}\)
(2) 乙生說：\(P_4 = \frac{39}{81}\)
(3) 丙生說：越多人猜拳越容易平手，換句話說，若\(a, b \in N, a \gt b \ge 2\)，則\(P_a \gt P_b\)
(4) 丁生說：如果每2人一組猜拳，猜拳一次後，沒猜贏的人數期望值為24人
(5) 戊生說：如果每3人一組猜拳，猜拳一次後，沒猜贏的人數期望值為24人

[多選題]

答案

(1)(2)(4)(5)

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113學測數學A1模考3-13

平面上有一定點\(A(2, 1)\)及一直線\(L: y = mx\)，令\(A\)在\(L\)的投影點為\(A’\)，則線段\(AA’\)長最大時的\(m\)值=______。

[選填題]

答案

-2

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113學測數學A1模考3-14

如圖(3)，以\(AB = 25\)為直徑作一圓，並於此圓上取一點\(C\)，使得\(AC = 24\)，在射線\(CB\)上取一點\(D\)，使得\(AD = 40\)，若\(AD\)交圓於\(E\)點，試求\(\frac{CE}{AB} =\)____。（化為最簡分數）

[選填題]

答案

\(\frac{4}{5}\)

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113學測數學A1模考3-15

四邊形\(ABCD\)中，\(\angle B = 150^\circ, \angle C = 150^\circ, AB = 6, BC = 4, CD = 8\)，則四邊形\(ABCD\)的面積______。

[選填題]

答案

\(12\sqrt{3}+14\)

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113學測數學A1模考3-16

設\(a, b\)均為大於1的實數，且\(c\)為不等於1的正實數，若\(2(\log_a c + \log_b c) = 9\log_{ab} c\)，則\(\log_a b\)的最小值 = ______。（化為最簡分數）

[選填題]

答案

\(\frac{1}{2}\)

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113學測數學A1模考3-17

已知\(a \gt 1\)，且在坐標平面的第一象限有\(A, B\)兩點分別在\(y = a^x\)及\(y = \log_a x\)上，使得正三角形\(OAB\)的邊長為\(2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}\)，其中\(O\)為原點，則\(a = \)______。

[選填題]

答案

\(\sqrt{3}+1\)

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113學測數學A1模考3-18

[題組:第18題到第20題]
圖(4)是一個由9個相同大小的正方形所組成的九宮格。當其中3個正方形的中心落在同一直線時，我們稱這3格形成一條連線。試回答下列問題。
從這9格選取其中5格，使得這5格可以形成2條連線的方法數有幾種？（單選題，3分）
(1) 20
(2) 21
(3) 22
(4) 23
(5) 24