104以前學測數學

設公差為 \( d \)。由公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，得：
\[
a_{100} = 1 + 99d, \quad a_{1000} = 1 + 999d
\]

(1) 反例：當 \( d = -0.01 \) 時，
\( a_{100} = 1 - 0.99 = 0.01 > 0 \)，但 \( a_{1000} = 1 - 9.99 = -8.99 < 0 \)。 (2) 若 \( a_{100} = 1 + 99d < 0 \)，則 \( d < -\dfrac{1}{99} \)， 故 \( a_{1000} = 1 + 999d < 1 - \dfrac{999}{99} < 0 \)。 (3) 若 \( a_{1000} = 1 + 999d > 0 \)，即 \( d > -\dfrac{1}{999} \)，
則 \( a_{100} = 1 + 99d > 1 - \dfrac{99}{999} > 0 \)。

(4) 反例：當 \( d = -0.01 \) 時，
\( a_{1000} = -8.99 < 0 \)，但 \( a_{100} = 0.01 > 0 \)。

(5) 因為：
\[
a_{1000} - a_{10} = (1 + 999d) - (1 + 9d) = 990d
\]
\[
10(a_{100} - a_1) = 10(1 + 99d - 1) = 990d
\]
所以 \( a_{1000} - a_{10} = 10(a_{100} - a_1) \)。

故選 (2)(3)(5)。

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已知直線 \(y = ax + b\) 與拋物線 \(y = x^2\) 恰交於一點，聯立得：
\[
x^2 = ax + b \quad \Rightarrow \quad x^2 - ax - b = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_1 = (-a)^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b = 0 \tag{1}
\]

又該直線與拋物線 \(y = (x-2)^2 + 12\) 恰交於一點，聯立：
\[
(x-2)^2 + 12 = ax + b
\]
\[
x^2 - 4x + 4 + 12 - ax - b = 0
\]
\[
x^2 - (a+4)x + (16 - b) = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_2 = [-(a+4)]^2 - 4(1)(16-b) = a^2 + 8a + 16 - 64 + 4b = 0
\]
\[
a^2 + 8a + 4b - 48 = 0 \tag{2}
\]

解 (1)、(2)：
(2) − (1) 得：
\[
(a^2 + 8a + 4b - 48) - (a^2 + 4b) = 0
\]
\[
8a - 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 6
\]
代入 (1)：
\[
6^2 + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -36 \quad \Rightarrow \quad b = -9
\]

故所求：
\[
a = 6,\quad b = -9
\]

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設超級市場位置為 \( P \)，滿足 \( PA = PB = x \)（公里），如圖所示。

\( H \) 為 \( AB \) 中點，則 \( AH = HB = \frac{12}{2} = 6 \)。

在 \(\triangle ABH\) 中，由畢氏定理得：
\[
HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}。
\]

設 \( HP = y \)，則 \( HB = HP + PB \) 即：
\[
6\sqrt{3} = y + x \quad \Rightarrow \quad y = 6\sqrt{3} - x。
\]

在 \(\triangle AHP\) 中，再由畢氏定理得：
\[
AP^2 = AH^2 + HP^2，
\]
\[
x^2 = 6^2 + \left(6\sqrt{3} - x\right)^2。
\]

展開：
\[
x^2 = 36 + \left(108 - 12\sqrt{3}x + x^2\right)。
\]

兩邊消去 \( x^2 \)：
\[
0 = 36 + 108 - 12\sqrt{3}x。
\]
\[
12\sqrt{3}x = 144。
\]
\[
x = \frac{144}{12\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}。
\]

故超市與 \( A \) 點的距離為 \( 4\sqrt{3} \) 公里。

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設直線 \( CD \) 的參數式為：
\[
\begin{cases}
x = -2 + t \\
y = 4 - t, \quad t \in \mathbb{R} \\
z = t
\end{cases}
\]
點 \( P \) 在 \( CD \) 上，可設 \( P(-2 + t,\; 4 - t,\; t) \)。

已知 \( A(2, 0, 0) \)、\( B(3, 4, 2) \)，則
\[
\overrightarrow{PA} = A - P = \big( 2 - (-2 + t),\; 0 - (4 - t),\; 0 - t \big) = (4 - t,\; -4 + t,\; -t),
\]
\[
\overrightarrow{PB} = B - P = \big( 3 - (-2 + t),\; 4 - (4 - t),\; 2 - t \big) = (5 - t,\; t,\; 2 - t).
\]

計算內積：
\[
\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}
= (4 - t)(5 - t) + (-4 + t)t + (-t)(2 - t).
\]

逐項展開：
\[
(4 - t)(5 - t) = 20 - 9t + t^2,
\]
\[
(-4 + t)t = -4t + t^2,
\]
\[
(-t)(2 - t) = -2t + t^2.
\]

相加得：
\[
\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}
= (20 - 9t + t^2) + (-4t + t^2) + (-2t + t^2)
= 20 - 15t + 3t^2.
\]

配方：
\[
3t^2 - 15t + 20 = 3\left( t^2 - 5t \right) + 20
= 3\left[ t^2 - 5t + \left( \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right] + 20
\]
\[
= 3\left[ \left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right] + 20
= 3\left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{75}{4} + 20
\]
\[
= 3\left( t - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}.
\]

當 \( t = \dfrac{5}{2} \) 時，\( \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \) 有最小值 \( \dfrac{5}{4} \)。

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已知 \(| \mathbf{u} | = | \mathbf{v} | = 1\)，且 \(\mathbf{u}\) 與 \(\mathbf{v}\) 的夾角為 \(150^\circ\)，則

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \, |\mathbf{v}| \cos 150^\circ
\]

\[
= 1 \times 1 \times \cos 150^\circ
\]

\[
= \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ
\]

\[
= -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

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轉移矩陣的行列式為 \(ad - bc = \frac{5}{8}\),
且 \(c=1-a,b=1-d,帶入上式得a + d = 1 + \frac{5}{8} = \frac{13}{8}\)。

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