104以前學測數學

在甲、乙取出不同色球的條件下,戊取得紅球的機率為 \(\frac{1}{2}\)。

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設玫瑰買 \(x\) 盆，百合 \(y\) 盆，菊花 \(z\) 盆，向日葵 \(t\) 盆
由題意可得
\[
x + y + z + t \leq 8 , \quad x, y, z, t \geq 1
\]
令
\[
x' = x-1,\quad y' = y-1,\quad z' = z-1,\quad t' = t-1
\]
則
\[
x', y', z', t' \geq 0 , \quad x' + y' + z' + t' \leq 4
\]
再引入輔助變數 \(w \geq 0\)，使
\[
x' + y' + z' + t' + w = 4
\]
此為非負整數解之個數問題，共有
\[
H_{5}^{4} = C_{4+5-1}^{4} = C_{8}^{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \text{ 種}
\]

**答案：70 種**

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#### 步驟1：求三條交線的方程
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x = 2 \) 的交線**：
將 \( x = 2 \) 代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( 2 - y + z = 0 \implies z = y - 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} x = 2 \\ z = y - 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = 2, y = t, z = t - 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x - y = -2 \) 的交線**：
由 \( x - y = -2 \implies y = x + 2 \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (x + 2) + z = 0 \implies z = 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = x + 2 \\ z = 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = t + 2, z = 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x + y = 2 \) 的交線**：
由 \( x + y = 2 \implies y = 2 - x \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (2 - x) + z = 0 \implies z = 2 - 2x \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = 2 - x \\ z = 2 - 2x \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = 2 - t, z = 2 - 2t \)，\( t \) 為參數）。
#### 步驟2：求三角形的三個頂點
- **頂點 \( A \)**：交線 \( x = 2 \) 與 \( y = x + 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = x + 2 \)，得 \( y = 4 \)，再代入 \( z = 2 \)，故 \( A(2, 4, 2) \)。
- **頂點 \( B \)**：交線 \( y = x + 2 \) 與 \( y = 2 - x \) 的交點。
聯立 \( y = x + 2 \) 和 \( y = 2 - x \)，得 \( x + 2 = 2 - x \implies x = 0 \)，則 \( y = 2 \)，\( z = 2 \)，故 \( B(0, 2, 2) \)。
- **頂點 \( C \)**：交線 \( y = 2 - x \) 與 \( x = 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = 2 - x \)，得 \( y = 0 \)，再代入 \( z = y - 2 \)，得 \( z = -2 \)，故 \( C(2, 0, -2) \)。
#### 步驟3：計算各邊的長度
- **邊長 \( AB \)**：
由距離公式 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)，得
\[
AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
- **邊長 \( BC \)**：
\[
BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]
- **邊長 \( CA \)**：
\[
CA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
#### 步驟4：計算周長
周長 \( = AB + BC + CA = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)。

對比形式 \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)（其中 \( b < d \)），可得 \( a = 6 \)，\( b = 2 \)，\( c = 2 \)，\( d = 6 \)。 综上，\( a = \boxed{6} \)，\( b = \boxed{2} \)，\( c = \boxed{2} \)，\( d = \boxed{6} \)。

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1. **設點座標**
設 \( P(x, y) \)，\( Q_1(a, b) \)（在 \( L_1 \) 上），\( Q_2(c, d) \)（在 \( L_2 \) 上）。
- 因 \( Q_1 \) 在 \( L_1: x + 2y = 0 \) 上，故 \( a + 2b = 0 \)；
- 因 \( Q_2 \) 在 \( L_2: 3x - 5y = 0 \) 上，故 \( 3c - 5d = 0 \)。

2. **由向量關係列方程**
- 由 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，得 \( \begin{cases} x - a = -7 \\ y - b = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} a = x + 7 \\ b = y - 9 \end{cases} \)；
- 由 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，得 \( \begin{cases} x - c = -6 \\ y - d = -8 \end{cases} \implies \begin{cases} c = x + 6 \\ d = y + 8 \end{cases} \)。

3. **代入直線方程解聯立**
- 將 \( a = x + 7 \)、\( b = y - 9 \) 代入 \( a + 2b = 0 \)，得：
\[
(x + 7) + 2(y - 9) = 0 \implies x + 2y = 11 \tag{1}
\]
- 將 \( c = x + 6 \)、\( d = y + 8 \) 代入 \( 3c - 5d = 0 \)，得：
\[
3(x + 6) - 5(y + 8) = 0 \implies 3x - 5y = 22 \tag{2}
\]
- 聯立 \( (1)(2) \)，由 \( (1) \) 得 \( x = 11 - 2y \)，代入 \( (2) \)：
\[
3(11 - 2y) - 5y = 22 \implies 33 - 6y - 5y = 22 \implies 11y = 11 \implies y = 1
\]
再代入 \( x = 11 - 2y \)，得 \( x = 11 - 2 \times 1 = 9 \)。

故 \( P \) 點的坐標為 \( \boxed{(9, 1)} \)。

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複利本利和公式 \(A = P(1 + r)^n\) ,其中 \(P = 3000000\) , \(r = 0.03\) , \(n = 3\) ,算出複利本利和 \(A_1 = 3000000×(1 + 0.03)^3 = 3278181\) 元；單利本利和公式 \(A = P(1 + rn)\) ,算出單利本利和 \(A_2 = 3000000×(1 + 0.03×3)=3270000\) 元。少繳金額為 \(A_1 - A_2 = 3278181 - 3270000 = 8181\) 元。

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【解法一】

設此狀態的轉移矩陣為
\[
M = \begin{pmatrix}
A & B & C \\
\frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix},
\]
其中第一列對應從各據點轉移到 \(A\) 的比例，第二列對應轉移到 \(B\)，第三列對應轉移到 \(C\)（或依題意定義）。

初始狀態設為
\[
A_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
（這裡 \(1\) 表示一個單位人數，後續再按實際總人數比例換算）。

第一步轉移後：
\[
A_1 = M A_0 =
\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\[4pt]
\frac{5}{6} \\[4pt]
\frac{7}{6}
\end{pmatrix}.
\]

第二步轉移後：
\[
A_2 = M A_1 =
\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\[4pt] \frac{5}{6} \\[4pt] \frac{7}{6}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{28}{36} \\[4pt]
\frac{22}{36} \\[4pt]
\frac{?}{36}
\end{pmatrix}
\]
（原解法此處第三分量為 \(\frac{22}{18}\)，但據上下文，應為 \(\frac{22}{18} = \frac{44}{36}\)，可能前面筆誤）。

由題意，實際總人數為 36 人，且 \(C\) 據點人數為
\[
\frac{22}{18} \times 36 = 44
\]
（此處取 \(A_2\) 中對應 \(C\) 的分量 \(\frac{22}{18}\) 乘 36，得 44 人）。

因此 \(C\) 據點最終人數為 \(44\) 人。

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