111學測數學B

$\begin{align*}
&分類解不等式（x為整數）：\\
&① 當x\geq0時，2x + x < 10 \implies 0\leq x < \frac{10}{3}，\\ &\quad 整數解：x=0,1,2,3，共4個；\\ &② 當x<0時，2(-x) + x < 10 \implies -10 < x < 0，\\ &\quad 整數解：x=-9,-8,\dots,-1，共9個；\\ \\ &總整數解個數：4+9=13，故選(1)。 \end{align*}$

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$\begin{align*}
&燈光循環：「藍-白-紅-白」，週期15秒（5+2+6+2）。\\
&6個循環後耗時：15×6=90秒。\\
&此後燈光時段：藍(91~95秒)、白(96~97秒)、紅(98~103秒)。\\
&故99~101秒間為紅燈，選(3)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&計算「有3號且任三個不相鄰」的選法：\\
&固定選3號，需選另外2個不與3相鄰的號（從1、5-8中選），共7種。\\
\\
&任三個不相鄰的總選法：\mathrm{C}_6^3=20種，\\
&故「不包含3號且任三個不相鄰」的選法：20-7=13種，選(2)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&設Q(x,y)，由\overrightarrow{PQ}=\left(\log\frac{1}{5},-10^{-5}\right)，且P\left(\log\frac{1}{2},2^{-5}\right)，得：\\
&x = \log\frac{1}{5} + \log\frac{1}{2} = \log\frac{1}{10} = -1, \\
&y = -10^{-5} + 2^{-5}. \\
\\
&因x=-1<0，且-10^{-5}+2^{-5}>0，故點Q在第二象限，選(2)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&計算矩陣冪：A^2=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}=2I，\\
&故A^7=A^6×A=(A^2)^3×A=(2I)^3×A=8A。\\
\\
&計算A^7-3A=8A-3A=5A=\begin{bmatrix}5&5\\5&-5\end{bmatrix}，\\
&其元素和：5+5+5-5=10，故選(5)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&往北移動與經度無關，由弧長公式r\theta=\frac{7}{12}\pi r，得\theta=\frac{7}{12}\pi=105^\circ。\\
&此移動對應緯度變化：原位置（假設為赤道）往北105°後，相當於南緯15°（180°-105°-60°？實質是緯度對應中心角），故選(3)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&(1) ○：過(0,0)、(1,a)的直線斜率m=\frac{a-0}{1-0}=a；\\
\\
&(2) ○：當a=\frac{3}{2}時，直線y=\frac{3}{2}x過(4,6)；\\
\\
&(5) ○：設L:y=ax為圓C_3的切線，由距離條件d(C_3,L)\leq1：\\
&\frac{|8a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\leq1 \implies 63a^2-16a\leq0 \implies 00）；\\
\\
&(3)(4) ×：由圖及共線、切線性質，至少需2道雷射光；\\
\\
&故選(1)(2)(5)。
\end{align*}$

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1. 將\(x = 1\)代入\(f(x) = 2x^{3}-3x + 1\),得\(f(1)=2 - 3 + 1 = 0\),所以\(y = f(x)\)的圖形通過點\((1,0)\),(1)正確。
2. 對\(f(x)\)求導\(f^\prime(x)=6x^{2}-3\),令\(f^\prime(x)=0\),解得\(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(f(x)\)在\(x\)軸上不止一個交點,(2)錯誤。
3. 三次函數\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)的對稱中心為\((-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))\),\(f(x) = 2x^{3}-3x + 1\)中\(b = 0\),對稱中心為\((0,f(0))=(0,1)\),(3)錯誤。
4. 對\(f(x)\)求導\(f^\prime(x)=6x^{2}-3\),在對稱中心\((0,1)\)處斜率\(f^\prime(0)= - 3\),在對稱中心附近近似直線為\(y - 1 = - 3(x - 0)\)即\(y = - 3x + 1\),(4)錯誤。
5. \(y = 3x^{3}-6x^{2}+2x\)與\(y = 2x^{3}-3x + 1\)三次項係數不同,不能由平移得到,(5)錯誤。答案：(1)

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$\begin{align*}
&(1) ○：由x_1>0.8x_1+20得x_1>100，即超100分調整後分數低於原始分；\\
\\
&(2) ○：計算平均數：\mu_{x_1}=\frac{60-20}{0.8}=50，\mu_{x_2}=\frac{60-25}{0.75}=46.\dot{6}，故\mu_{x_1}>\mu_{x_2}；\\
\\
&(3) ×：計算標準差：\sigma_{x_1}=\frac{16}{0.8}=20，\sigma_{x_2}=\frac{15}{0.75}=20，故\sigma_{x_1}=\sigma_{x_2}；\\
\\
&(4) ○：由0.8x_1+20>0.75x_2+25推得x_1-x_2\geq\frac{1}{16}(100-x_2)\geq0，故x_1>x_2；\\
\\
&(5) ×：僅能知甲班原始分未滿50分的人數多於乙班未滿46.\dot{6}分的人數；\\
\\
&故選(1)(2)(4)。
\end{align*}$

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